Desenvolvimento de Laurent

Seja f uma função analítica numa região D, exceto em um ponto singular isolado p D. Então numa vizinhança de p vale o desenvolvimento de Laurent

f(z) =	∞ n=1	a−n (z−p)n	+	∞ n=0	an(z−p)n

Para cada n=0,1,2,..., os coeficiente a_n e a_−n são dados por

an =	1 2i	C	f(z) (z−p)n+1	dz

onde C é um contorno fechado envolvendo p, contido em D.

Definição de resíduo

O resíduo de f no ponto singular p é definido como a integral

a−1 =	1 2i	C	f(z)dz

que nem sempre é nula.

Teorema dos resíduos

Se f é uma função analítica numa região D, exceto em um número finito de singularidades isoladas z₁, z₂, ...,z_n, pertencentes a D. Representando por R_j o resíduo de f em z_j para j=1,2,...,n. Então

C	f(z)dz=2 i	n j=1	Rj

onde C é um contorno fechado contendo todos os pontos z₁, z₂, ..., z_n em seu interior.

No caso em que p é um polo simples, numa vizinhança de p, temos

ou seja

Logo, neste caso o resíduo a₋₁ é dado pela fórmula

a−1 =	lim zp	(z−p)f(z)

Exemplo: Seja f(z)=1/(1+z²). Esta função possui um pólo simples em p=i. O resíduo será

lim zi	z−i z²+i	=	1 2i

Cálculo do Resíduo em um polo simples

Suponha que f=g/h, com g(p) 0, h(p)=0, h'(p) 0, isto é, p é um zero simples de h. Deste modo p é um polo simples de f. Representando por R₀ o resíduo de f em p. Temos

R0=	lim zp	(z−p)f(z) =	lim zp	(z−p)	g(z) h(z)	=	lim zp	g(z)	z−p h(z)−h(p)	=	g(p) h'(p)

Exemplo: Seja f(z)=cot(z), então f(z)=cos(z)/sen(z), neste caso, g(0)=cos(0)=1, h(0)=sen(0)=0 e h'(0)=cos(0)=1. Então o resíduo será dado por:

R0=	lim z0	cosz (senz)'	=1

Cálculo do Resíduo em um polo duplo

f possui um pólo de ordem 2 em p. Assim,

numa vizinhança de p. Daí segue que

ou seja

Assim, se p é um polo duplo de f, o resíduo é dado por,

R0=		lim zp	d dz	[(z−p)² f(z)]

Esta fórmula pode ser generalizada para ao caso de um polo de ordem m.

Cálculo do Resíduo em um polo múltiplo

Se p é um polo de ordem m de uma função f, então,

R0 =	1 (m−1)!	lim zp	dm−1 dzm−1	[(z−p)m f(z)]

Exemplo: A função f(z)=e^z/z³ tem polo de ordem 3 no ponto p=0. Seu resíduo em p=0 é dado por:

R0 =	1 2		lim z0	d² dz²	[z³	ez z³	] =	1 2	lim z0	ez =	1 2

Aplicações ao cálculo de integrais reais

Faremos uma aplicação do Teorema dos resíduos ao cálculo de uma integral real.

Seja f é uma função racional, isto é, f=h/g, onde f e g são polinômios.

I=		+∞ −∞	f(x)   dx

Consideremos que h e g são primos entre si, a equação algébrica g(x)=0 não possua raiz real e f(x)0, quando x±∞. Com estas hipóteses sobre f, a integral imprópria I existe.

Consideremos a semicircunferência C_r={zC:Imz>0,|z|=R}, como mostra a figura:

Seja C o caminho orientado, composto de Cr e do segmento de reta [-R,+R]. Tomemos R>0 de tal modo que todos os pólos de w=f(z) situados no semiplano Im(z)>0 estejam no interior de C. Representando por R_j o resíduo de w=f(z) no pólo z_j situado no interior de C, obtém-se, pelo teorema dos resíduos,

C	f(z)dz=2 i Rj

Como C=[−R,+R] C_r, a última igualdade toma a seguinte forma

	+R −R	f(x)dx+	C	f(z)dz = 2i Rj

Tomando o limite R ∞ resulta,

	+∞ −∞	f(x) dx = 2i Rj

Exemplo: Para calcular a integral

	+∞ −∞	dx 1+x4

tomaremos h(x)=1, g(x)=1+x⁴. As raízes de 1+x⁴=0 são os números complexos:

z_k=e^i(1+2k)/4

onde k=0,1,2,3.

Os polos situados no semiplano Im(z)>0 são

z₁=e^i/4    e    z₂=e^3i/4

Daí segue que

	+∞ −∞	dx 1+x4	=2i(R1+R2)

Para calcular os resíduos R₁ e R₂, observe que (1+z⁴)'=4z³ e que os polos são simples.

R1 =	1 4e3i/4	= [cos(3/4)−isen(3/4)]/4 = −R[2](1+i)/8

R2 =	1 4ei/4	= [cos(/4)−isen(/4)]/4 = R[2](1−i)/8

onde R[2] representa a raiz quadrada de 2.

Obtém-se assim

lim R ∞		+R −R	dx 1+x4	=		+∞ −∞	dx 1+x4	= .R[2]/2

Exercícios propostos

1. Classifique as singularidades em C das seguintes funções

   1. f(z)=z⁴/(1+z²)

   2. f(z)=z/sen(z)

   3. f(z)=(z²−1)/(z²+1)

   4. f(z)=sen(z)/z³

   5. f(z)=z³ sen(z⁻¹)

2. Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes para cada uma das seguintes funções

   1. f(z)=[z−sen(z)]/z⁴

   2. f(z)=[z−sen(z)]/z⁶

   3. f(z)=(z²−2z)/[(z+1)²(z²+4)]

   4. f(z)=e^{i z}/(z−)⁴

3. Calcule a integral

   C	ez (z−i)(z²+4)	dz

   onde C é cada um dos círculos: (a) |z|=3, (b) |z−2i|=1/3, (c) |z+3i|=3 e (d) |z−1|=2.

4. Calcular a integral

   |z|=4	ez sen(z)	dz

5. Calcular a integral

   C|z−1|=1	tan(3z)dz

6. Calcular a integral

   C|z|=4	z²+1 (z−i)(z−1)4	dz

7. Calcular a integral

   |z|=1	(1−z)4 e2z z5	dz