Séries de potências

Uma série de potências, é uma série de funções do tipo

f(z)=	∞ n=0	an(z−p)n

onde os coeficientes da série a_n com n=0,1,2,... e os números p são constantes complexas, a_n(z−p)ⁿ é denominado o termo geral da série.

Esta série de potências é convergente em z=p, e este ponto, às vezes, é o único ponto no qual a série converge. Em geral, a série pode convergir em outros pontos. Veremos que existe um número positivo R tal que uma série de potências converge em |z−p|<R, diverge em |z−p|>R, enquanto em |z−p|=R ela pode ou não convergir. Este número R é chamado raio de convergência.

Raio de convergência

Teorema 1: A toda série de potências

f(z) =	∞ n=0	an (z−p)n

está associado um número não negativo R tal que a série converge absolutamente para todo z tal que |z−p|<R e diverge para os z tais que |z−p|>R. Quando R=+∞, a série converge em valor absoluto para todo z C. Se R=0 só converge em p.

Teorema 2: O raio de convergência R da série

f(z) =	∞ n=0	an (z−p)n

é definido de tal modo que

1 R	=	lim n ∞	|an|1/n

Se lim_{n ∞} |a_n|^1/n =∞, tomamos R=0 e se lim_{n ∞} |a_n|^1/n =0, tomamos R=∞.

Observação: O raio de convergência da série poderá também ser dado por

R=	lim n ∞	|	an an+1	|

quando este limite existir.

Este resultado decorre do estudo da convergência de séries numéricas de termos positivos. Isto resulta da igualdade

lim n ∞	|an|1/n =	lim n ∞	|	an+1 an	|

O comportamento da série sobre a circunferência |z−p|=R escapa as informações dadas pelos teoremas.

Teorema 3: Seja R o raio de convergência de uma série de potências. Então ela converge uniformemente em todo disco aberto r<R, concêntrico ao círculo de convergência.

Exemplos:

1. Seja a série

   ∞ n=1	n zn

   Neste caso

   lim n ∞	an an+1	=	lim n ∞	n n+1	= 1

   assim R=1 e a série converge absolutamente para |z|<1 e diverge para |z|>1. Para |z|=1 a série em valor absoluto fica

   ∞ n=1	|nzn|=	∞ n=0	|n|

   Como lim_{n ∞} |n| 0 a série diverge. Então para |z|=1 a série é divergente.

2. Considere a série

   ∞ n=1	zn n²

   Como

   lim n ∞	an an+1	=	lim n ∞	(n+1)² n²	= 1

   então R=1 e a série converge absolutamente para |z|<1 e diverge para |z|>1.

   Para |z|=1 a série em valor absoluto fica

   ∞ n=1	|	zn n²	| =	∞ n=1	1 n²	=	² 6

   que é uma série convergente (série-p, com p=2)

   Concluímos que a série é absolutamente convergente para todo z no círculo fechado de centro na origem e raio 1.

Série de potências e função analítica

Toda série de potências da forma

∞ n=0	an (z−p)n

representa uma função analítica no seu círculo de convergência |z−p|<R.

Esta série pode ser derivada termo a termo qualquer número de vezes, logo, a série

∞ n=1	n an(z−p)n−1

das derivadas possui o mesmo raio de convergência R e é também analítica no mesmo círculo de convergência.

Série de Taylor

Seja f:D C uma função analítica sobre um domínio complexo D tal que para todo p D, existe uma, e somente uma série de potências convergente em um disco |z−p|<R, (R>0) todo contido em D, cuja soma é igual a f dada por

f(z)=	∞ n=0	f(n)(p) n!	(z−p)n

Este desenvolvimento é conhecido como série de Taylor da função f.

Observação: O caso p=0 é conhecido como desenvolvimento em série de MacLaurin de f e o teorema acima evidencia a diferença entre o cálculo de funções reais e o cálculo de funções complexas, um exemplo clássico para ilustrar esta diferença é dado pela função real tal que f(0)=0 e para x 0 é definida por

f(x) = exp(1/x²)

A função f possui derivada de todas as ordens em qualquer intervalo com centro na origem, mas o desenvolvimento em série de Taylor desta função no ponto x₀=0 não converge para esta função. Entretanto no caso complexo, o teorema acima garante que, para f:D C possuir uma representação em série de Taylor num disco de centro p contido no domínio D é suficiente que f seja analítica em D.

Teorema sobre a identidade de séries de potências: Sejam

∞ n=0	an(z−p)n    e	∞ n=0	bn(z−p)n

duas séries de potências convergentes numa vizinhança 0<|z−p|<R de p. Se as duas séries acima coincidem nesta vizinhança com ponto de acumulação p, então as potências de (z−p) com iguais expoentes possuem coeficientes idênticos.

Representação de funções por série de potências

Função exponencial: Sabe-se que a função exponencial é uma função analítica em C. Obteremos a série de Taylor de f em torno do ponto p=0. Neste caso:

f(z) = f'(z) = f''(z) = ... = f⁽ⁿ⁾(z) = e^z

e assim

f(0) = f'(0) = f''(0) = ... = f⁽ⁿ⁾(0) = 1

para todo n N. Assim, o desenvolvimento de Taylor é dado por

exp	(z) = ez =	∞ n=0	zn n!	= 1 + z +	z² 2!	+	z³ 3!	+	z4 4!	+...

válida para todo z C, pois esta série possui raio de convergência R=∞.

Função logarítmica: Seja a função f(z)=log(1+z) com o domínio D sendo todo o plano complexo, excluindo a semi-reta {x R: −∞<x< −1}, esta função f:D C é analítica em D sendo suas derivadas em z=0 dadas por

então o desenvolvimento de Taylor é dado por

O raio de convergência desta série é R=1 então ela é convergente no interior do círculo, isto é, em {zC: |z|<1}. Esta série é denominada série logarítmica.

Desenvolvimento binomial: Seja a função f(z)=(1+z)^w onde wC, esta função é multivalente, com ramificação em z=−1. Vamos supor que f(0)=1 e desenvolver a série de Taylor em torno do ponto z=0.

Em geral

f⁽ⁿ⁾(z)=w(w−1)...(w−n+1)(1+z)^w−n

assim

f⁽ⁿ⁾(0)=w(w−1)...(w−n+1)

portanto, o desenvolvimento de Taylor é

(1+z)w = 1 + w z +	w(w−1) 2!	z² + ... =	∞ n=0	(	w n	) zn

se |z|<1, onde

Exercícios propostos

1. Determinar o raio de convergência de cada uma das séries abaixo:

   ∞ n=1	zn n	,	∞ n=1	zn n!	,	∞ n=1	nn zn	,	∞ n=1	n zn 2n	,	∞ n=1	(z+2)n−1 (n+1)³ 4n	,	∞ n=1	(z+i)n (n+1)(n+2)

2. Para cada série abaixo, verificar se ela converge uniformemente e determinar o seu domínio de convergência.

   ∞ n=1	zn 3n+1	,	∞ n=1	(z−i)2n n²

3. Se |z|<1, derive ambos os membros da identidade

   1 1−z	≡ 1 + z + z² + z³ +...

4. Se |z|<1, determine a soma da série

   ∞ n=1	n zn

5. Demonstrar que vale o seguinte desenvolvimento em série de MacLaurin:

   cos(z) = 1 −	z² 2!	+	z4 4!	−	z6 6!	+...+ (−1)k	z2k (2k)!	+ ...

6. Demonstrar que vale o seguinte desenvolvimento em série de MacLaurin:

   sen(z) =	z 1!	−	z³ 3!	+	z5 5!	+...+ (−1)k	z2k+1 (2k+1)!	+ ...

7. Representar em série de potências em torno do ponto p=0 a seguinte função:

   f(z) = exp(−z) = e^−z

8. Representar em série de potências em torno do ponto p=0 a seguinte função:

   f(z) =	sen(z) 1−z

9. Representar em série de potências em torno do ponto p=0 a seguinte função:

   f(z) =	cos(z) (1+z)²

10. Representar em série de potências em torno do ponto p=0 a seguinte função:

    f(z) = log	1+z 1−z