Sequências de funções

Seja D um domínio complexo. Uma sequência de funções complexas é uma aplicação que a cada número natural n, associa uma função f_n:D C. Podemos representar uma sequência de funções complexas por (f_n)_{n N} ou simplesmente {f_n(z)}, onde f_n é o termo geral.

Diz-se que o limite de f_n=f_n(z) quando n ∞ é igual a f=f(z) e escrevemos

lim n ∞	fn(z) = f(z)

se, para qualquer ε>0, existe um N=N(ε,z) tal que

|f_n(z)−f(z)| < ε

para todo n>N.

Neste caso, diz-se que a sequência das funções f_n=f_n(z) é convergente para f=f(z) ou que converge para f=f(z).

Uma sequência converge em um valor p pertencente ao domínio D se a sequência numérica {f_n(p)} for convergente.

Se uma sequência converge para todos os números complexos p de um domínio D, diz-se que a sequência converge em D.

Séries de funções

Dada uma sequência de funções {f_n(z)}, onde f_n:D C consideremos uma nova sequência {S_n(z)} formada da seguinte maneira:

onde S_n=S_n(z) é a n-ésima soma parcial (ou reduzida de ordem n) da sequência {f_n(z)}, que pode ser simbolizada por

Sn(z)=	n k=1	fk(z)

Uma série de funções é a soma infinita

∞ n=1	fn(z) =	lim n ∞	Sn(z)

Diz-se que a série de funções

∞ n=1	fn(z)

com f_n:D C é convergente em p D, quando a sequência das suas reduzidas for convergente em p.

Diz-se que a série de funções

∞ n=1	fn(z)

com f_n:D C é convergente em D, quando ela é convergente em todos os pontos de D

Se a série _n=1^∞ f_n(z) é convergente em D, a função f:D C definida por

f(z) =	lim n ∞	[f1(z) + f2(z) + f3(z) +...+ fn(z)] =	lim n ∞	n k=1	fk(z)

é denominada a soma da série dada.

Alguns teoremas importantes

Enunciaremos alguns teoremas importantes envolvendo sequências e séries numéricas reais, para referências.

1. Unicidade do limite: Se uma sequência de números reais tem limite, este limite é único.

2. Monotonicidade limitada: Toda sequência real monótona e limitada é convergente. Isto quer dizer que se a sequência {a_n} é monótona crescente (a_n+1<a_n) ou monótona decrescente (a_n<a_n+1) e limitada (|a_n|<M) então ela é convergente.

3. Critério de Cauchy: Uma condição necessária e suficiente para que {u_n} seja convergente é que dado ε>0 arbitrário, existe um número N tal que |u_p−u_q|<ε para todo p,q>N.

4. Uma condição necessária (mas não suficiente) para que

   ∞ n=1	un

   seja convergente é que

   lim n ∞	un = 0

5. A multiplicação de cada termo de uma série por uma constante não nula, não afeta a convergência ou divergência da série.

6. O acréscimo ou a remoção de um número finito de termos de uma série não afeta a convergência ou divergência da série.

7. Uma condição necessária e suficiente para que uma série complexa

   ∞ n=1	(an +ibn)

   seja convergente, onde a_n e b_n são sequências reais, é que

   ∞ n=1	an      e		∞ n=1	bn

   convirjam.

Convergência absoluta e condicional

Uma série

∞ n=1	fn(z)

é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, isto é,

∞ n=1	|fn(z)|

converge.

Uma série

∞ n=1	fn(z)

é condicionalmente convergente se a série

∞ n=1	|fn(z)|

converge, mas a série original não converge,

Teoremas sobre convergência absoluta

1. Se

   ∞ n=1	|un|

   converge, então

   ∞ n=1	un

   também converge. Em palavras, se uma série é absolutamente convergente, ela é convergente.

2. Toda série obtida por rearranjos dos termos de uma série absolutamente convergente, converge para a mesma soma.

3. A soma, a diferença e o produto de séries absolutamente convergentes também são convergentes.

4. As duas últimas informações nem sempre são válidas para séries condicionalmente convergentes.

Alguns testes para convergência

1. Teste da comparação:

   1. Se |v_n| converge e |u_n|<|v_n|, para cada n N, então  u_n converge absolutamente.

   2. Se |v_n| diverge e |u_n| > |v_n|, para cada n N, então |u_n| diverge, mas  u_n pode ou não convergir.

2. Teste da razão: Se

   lim n ∞	|	un+1 un	|=L

   a série  u_n

   1. Converge absolutamente se L<1.

   2. Diverge se L>1.

   3. pode convergir ou divergir, pois o teste falha se L=1.

3. Teste para séries alternadas: A série alternada  (−1) ⁿ u_n, converge, se são satisfeitos os ítens abaixo

   1. u_n > 0.

   2. Para todo n N tem-se que u_n+1<u_n.

   3. lim_{n ∞} u_n=0.

Convergência uniforme de série de funções

Na definição de limite de uma sequência foi dito que o número N, em geral depende de ε e de z. Se ocorrer que para um valor de N, |f_n(z)−f(z)|<ε para todo n>N, e este número N só depende do ε dado e não depende de um valor particular de z na região, dizemos que neste caso f_n converge uniformemente ou é uniformemente convergente em D.

A série

f(z)=	n ∞	fn(z)

será uniformemente convergente em um domínio D, se dado ε existir um número real N=N(ε) (depende apenas de ε) tal que para todo n>N se tem que

Teoremas sobre convergência uniforme

1. Critério de Cauchy: Uma condição necessária e suficiente para que a série

   f(z)=	∞ n=1	fn(z)

   seja uniformemente convergente em D é que, dado qualquer ε, existe N tal que

   |S_n+p−S_n| = f_n+1(z)+f_n+2(z)+f_n+3(z)+...+f_n+p(z)|<ε

   para todo n>N, p > 1, qualquer que seja z em D.

2. Critério de Weierstrass: Seja  M_n uma série convergente de números reais positivos. Se f_n(z) for uma série de funções f_n:D C, tais que para todo z D, se tem que

   |f_n(z)| < M_n

   exceto para um número finito de valores de n, então f_n(z) converge uniformemente em D.

   Exemplo: Usaremos o critério de Weierstrass para mostrar que a série

   ∞ n=1	zn n(n+1)1/2

   é uniformemente convergente no círculo |z|<1.

   Se

   fn(z) =	zn n(n+1)1/2

   então, se |z|< 1, segue que

   |fn(z)| =	|z| n n(n+1)1/2	<	1 n 3/2

   Tomando M_n=1/n ^3/2, temos que  M_n converge (série-p, com p=3/2). Assim, pelo critério de Weierstrass a série dada converge uniformemente e absolutamente para |z|<1.

3. Seja

   f(z) =	∞ n=0	fn(z)

   uma série de funções contínuas, uniformemente convergente num conjunto D. Então:

   1. f é contínua em D.

   2. A soma f da série é integrável sobre um contorno C valendo a igualdade

      	C	f(z)dz =	∞ n=0		C	fn(z) dz

   3. Se a convergência é uniforme numa região simplesmente conexa D, onde as funções f_n são analíticas, então f é também analítica em D e suas derivadas são obtidas derivando a série termo a termo, valendo a igualdade

      d dz	∞ n=0	fn(z) =	∞ n=0	d dz	[fn(z)]