Fórmula Integral de Cauchy

Seja f:D C uma função analítica definida sobre uma região simplesmente conexa D no plano complexo. Então

f(p) =		1 2i	K	f(z) z−p	dz

onde K é um caminho fechado inteiramente contido em D e p um ponto no interior de K. Esta é denominada a Fórmula Integral de Cauchy.

Demonstração: Seja K₁ uma circunferência de raio r envolvendo p, orientada positivamente, com r suficientemente pequeno para que a circunferência esteja inteiramente contida em K, como ilustra a figura.

A função g(z)=f(z)/(z−p) é analítica sobre K, sobre K₁ e no interior da região multiplamente conexa limitada por K e K₁. Deste modo

K	f(z) z−p	dz =	K₁	f(z) z−p	dz =	K₁	f(z)−f(p) z−p	dz +	K₁	f(p) z−p	dz

Pelo exemplo (4) da seção anterior, mostramos que

	K	dz z−p	=2i

assim

K	f(z) z−p	dz =	K₁	f(z)−f(p) z−p	dz + f(p) 2i

Desse modo a integral

K₁	f(z)−f(p) z−p	dz

tende a zero, para z no interior de K₁.

Realmente, pela continuidade de f, dado ε>0, podemos tomar r suficientemente pequeno tal que |f(z)−f(p)|<ε, desde que |z−p|<r. Então

\|	K₁	f(z)−f(p) z−p	dz\| <	K₁	\|	f(z)−f(p) z−p	\|\|dz\| <	ε r	K₁	\|dz\| =	ε r	2r = 2ε

Fazendo r 0, obtemos o resultado desejado.

Desse modo

K	f(z) z−p	dz = f(p) 2 i

ou seja

f(p) =	1 2 i	K	f(z) z−p	dz

Com a Fórmula Integral de Cauchy, é possível obter a primeira derivada de uma função analítica.

Importante: Um fato excepcional em variáveis complexas é que, se uma função possui a primeira derivada contínua, possuirá também derivadas contínuas de todas as ordens, fato que não é possível obter no Cálculo de funções de variáveis reais.

Derivada de uma função analítica

Uma função analítica f=f(z) definida sobre uma região simplesmente conexa D, possui derivadas de todas as ordens, as quais são também analíticas sobre D sendo que a sua primeira derivada é dada por

f '(p) =	1 2i	K	f(z) (z−p)²	dz

e a derivada n-ésima é dada por

f ⁽ⁿ⁾(p)=	n! 2i	K	f(z) (z−p)ⁿ⁺¹	dz

Estas fórmulas são obtidas derivando-se diretamente a Fórmula Integral de Cauchy.

Exemplos do uso da Fórmula Integral de Cauchy:

Podemos calcular

K e ^2z
z+1 dz

onde K é a circunferência |z|=3, tomando Se f(z)=e ^2z e p=−1 na Fórmula Integral de Cauchy, para obter:

f(−1) = 1
2i
K e ^2z
z−(−1) dz, e ⁻² = 1
2i
K e ^2z
z+1 dz e
K e ^2z
z+1 dz = 2i e ⁻²
Se K é um caminho fechado complexo, calcularemos a integral

K dz
z²+9

quando
1. O ponto z=3i está no interior de K e z=−3i no exterior.
2. O ponto z=−3i está no interior de K e z=3i no exterior.
3. os pontos z=3i e z=−3i estão no interior de K.
4. os pontos z=3i e z=−3i estão no exterior de K.
Resolução:
1. Como
  
  1
  z²+9 = 1
  (z+3i)(z−3i)
  
  então
  
  f(z) = 1
  2i
  K 1
  z+3i . 1
  z−3i dz
  
  Como z=3i está no interior de K, escolhemos f(z)=1/(z+3i), sendo p=3i. Assim
  
  f(3i) = 1
  3i+3i = 1
  2i
  K f(z)
  z−3i dz
  
  ou seja
  
  1
  6i = 1
  2i
  K f(z)
  z−3i dz
  
  e garantimos que
  
  K f(z)
  z−3i dz = /3
2. Como z=−3i está no interior de K, tomamos p=−3i e f(z)=1/(z−3i), para obter
  
  f(−3i) = 1
  2i
  K 1
  z+3i . 1
  z−3i dz
  
  Desse modo
  
  −1
  6i = 1
  2i
  K f(z)
  z+3i dz
  
  e segue que
  
  K f(z)
  z+3i dz = −/3
3. Como
  
  1
  z²+9 = 1
  (z+3i)(z−3i) = 1/6i
  z−3i − 1/6i
  z+3i
  
  podemos decompor a integral
  
  K dz
  z²+9 =
  K 1/6i
  z+3i dz −
  K 1/6i
  z−3i dz
  
  Na primeira integral segue que f(z)=1/6i, p=−3i e f(p)=1/6i, logo
  
  K 1/6i
  z+3i dz = /3
  
  Na segunda integral f(z)=1/6i, p=3i e f(p)=1/6i, assim
  
  K 1/6i
  z−3i dz = /3
  
  e a integral é igual a zero.
4. Como z=3i e z=−3i estão no exterior de K a função a ser integrada é analítica no interior de K então pelo Teorema de Cauchy, a integral é nula.
Calcularemos agora a integral

1
2 i
K e^z
z(1−z)³ dz

onde
1. O ponto z=0 está no interior de K e o ponto z=1 está fora de K.
2. O ponto z=1 está no interior de K e o ponto z=0 está fora de K.
Solução:
1. Tomando p=0 e f(z)=e^z/(1−z)³, então
  
  f(p) = 1
  2i
  K f(z)
  (z−p) dz
  
  logo
  
  1
  2i
  K f(z)
  (z) dz = 1
2. Como
  
  f ^''(p) = 2!
  2i
  K f(z)
  (z−p)³ dz
  
  então, tomando p=1 e f(z)=−e^z/z, f''(1)=−e, então
  
  f ^''(p) = 2!
  2i
  K f(z)
  (z−p)³ dz
  
  de onde segue que
  
  −e = 1
  i
  K e^z
  z(1−z)³ dz
  
  portanto
  
  1
  2i
  K e^z
  z(1−z)³ dz = −e/2

A recíproca do Teorema Integral de Cauchy é dada pelo Teorema de Morera:

Teorema de Morera

Seja f:D C uma função contínua sobre um domínio simplesmente conexo D. Se

K	f(z) dz = 0

para todo caminho fechado K contido em D, então f=f(z) é analítica sobre D.

Exercícios Propostos

Calcule a integral

K dz
(z²−1)

nos seguintes casos:
1. O número complexo 1 está no interior do contorno fechado K e −1 no exterior.
2. Os números complexos 1 e −1 estão no interior do contorno fechado K.
3. Os números complexos 1 e −1 estão no exterior do contorno fechado K.
Calcule a integral

K senz²+cosz²
(z−1)(z+1) dz

onde K é a circunferência |z|=3.
Calcule a integral

K e ^2z
(z+1)⁴

onde K é a circunferência |z|=3.
Calcule a integral

1
2i
K e^z
(z−2) dz

nos seguintes casos:
1. K é a circunferência |z|=3.
2. K é a circunferência |z|=1.
Calcule a integral

K sen3z
(z+/2) dz

onde K é a circunferência |z|=5
Calcule a integral

K e ^3z
(z−i) dz

nos seguintes casos:
1. K é a circunferência |z−1|=4
2. K é a elipse |z−2|+|z+2|=6
Calcule a integral

1
2 i
K cos(z)
z²−1 dz

nos seguintes casos:
1. K é o retângulo de vértices 2+i, 2−i, −2+i e −2−i.
2. K é o retângulo de vértices −i, 2−i, 2+i e i.
Calcule a integral

K

z
|z|

dz

sendo K o caminho representado na figura:

Construída por Sônia Ferreira Lopes Toffoli.