Orientação de um contorno fechado

O Teorema de Green estudado nos cursos de Cálculo estabelece um dos mais importantes resultados relacionados com a teoria de funções analíticas através do Teorema integral de Cauchy. Neste caso, necessitamos estabelecer uma orientação para curvas fechadas tomadas como sendo positivas.

Dado uma curva fechada K parametrizada por z=z(t) com a<t<b, por convenção, a fronteira ou contorno da região envolvida pela curva é orientada no sentido positivo quando um observador localizado sobre a curva, percorre o contorno K de tal modo que o interior do contorno K esteja sempre à sua esquerda. Nas figuras abaixo, as curvas estão orientadas no sentido positivo.

Para indicar a integral de linha da função f=f(z) ao longo da fronteira fechada K no sentido positivo, usamos o símbolo:

K	f(z) dz

Teorema de Green

Sejam P=P(x,y) e Q=Q(x,y) funções definidas e tendo derivadas primeiras contínuas sobre uma região simplesmente conexa D. Então, para todo contorno fechado simples K na região D, tem-se que

		D'	(	∂ Q ∂ x	−	∂ P ∂ y	) dxdy =	K	P dx + Q dy

onde D' é a região interior a K.

Exemplo: Para calcular a integral

K	(x²+y²) dx + x dy

onde K é a circunferência x=acos(t), y=asen(t) com 0<t<2, utilizamos o teorema de Green. Como P=(x²+y²), Q=x,Q_x=1, P_y=2y, então

K	(x²+y²) dx + x dy =			D'	(1−2y) dxdy

Como a região D' é limitada pela circunferência x=acos(t), y=asen(t) com 0<t<2, podemos calcular a última integral em coordenadas polares

		D'	(1−2y)dxdy =		t=2 t=0		r=a r=0	[1−2rsen(t)	] rdr dt =		2 0	[½a²−(2/3)a³sen(t)]dt = a²

Exemplo: Para calcular a integral

K	(x²+y²) dx + (x²−y²) dy

onde K é o quadrado −a<x<a e −a<y<a utilizaremos o teorema de Green. Assim, como P=(x²+y²), Q=(x²−y²), Q_x=2x, P_y=2y, assim,

K	(x²+y²)dx + (x²−y²)dy =			D'	(2x−2y) dxdy

Como a região D' é limitada pelo quadrado −a<x<a e −a<y<a, temos:

K	(x²+y²)dx+(x²−y²)dy=		y=a y=−a		x=a x=−a	(2x−2y)dxdy=0

Esta integral seria mais trabalhosa como uma integral de linha, pois o caminho K deve ser decomposto em quatro retas parametrizadas.

Teorema integral de Cauchy

Se D é uma região simplesmente conexa no plano complexo e a função f:D C é analítica, então, para todo contorno fechado K contido em D, temos que:

K	f(z) dz = 0

Este resultado é conhecido como o Teorema Integral de Cauchy.

Uma conseqüência imediata do Teorema Integral de Cauchy é o teorema que caracteriza a integral que independe do caminho.

Teorema da independência do caminho

Se D é uma região simplesmente conexa no plano complexo, p e q são pontos desta região e f:D C é uma função analítica, então, a integral de f=f(z) ao longo de qualquer curva ligando os pontos p e q, só depende destes pontos e não da específica curva que liga estes pontos.

Teorema integral de Cauchy versus independência do caminho

Mostraremos primeiramente que, se é válido o Teorema de Cauchy então ocorre a independencia do caminho para a integral.

Vamos considerar K₁ e K₂ dois caminhos quaisquer com extremos p e q, sem outros pontos em comum dentro da região D. A figura abaixo mostra esta situação.

A justaposição dos caminhos K₁ e −K₂ forma um caminho fechado em D, logo

K1+(−K2)	f(z) dz =	K1	f(z) dz −	K2	f(z) dz = 0

então

K1	f(z) dz =	K2	f(z) dz

o que garante que a integral complexa de f=f(z) independe do caminho escolhido.

Suponhamos agora que a integral complexa de f=f(z) independe do caminho. Consideremos K um contorno fechado dentro da região D. Tomando dois pontos p K e q K, podemos construir dois caminhos distintos K₁ de p a q e K₂ de q a p. Temos então que

K1	f(z) dz = −	K2	f(z) dz

Logo

K	f(z) dz =	K1	f(z) dz +	K2	f(z) dz = 0

o que prova o Teorema Integral de Cauchy.

Conseqüências do Teorema de Cauchy

1. Seja f=f(z) uma função analítica definida sobre uma região simplesmente conexa D. Se p e q são pontos em D e F'(z)=f(z) (F é uma primitiva para f), então

   	b a	f(z)dz = F(b)−F(a)

   Exemplo: Uma situação típica é

   	2−i 2i	2z dz = [ z²]2i2i−1 = 1−4i

2. Seja f=f(z) uma função analítica definida sobre uma região multiplamente conexa (com um furo) e nos seus contornos. Seja D a região limitada externamente por um contorno fechado simples K e limitada internamente por um contorno fechado simples K₁, onde K e K₁ são orientadas no sentido positivo como ilustra a figura seguinte.

   

   Então

   K	f(z) dz =	K1	f(z) dz

   Este teorema garante que para integrar uma função f=f(z) ao longo de um contorno fechado K, basta trocar K por qualquer outro caminho fechado simples K₁ da região, desde que a função f=f(z) seja analítica na região localizada entre K e K₁.

3. Seja f=f(z) uma função analítica definida sobre uma região multiplamente conexa (com vários furos), esta região está limitada pelos contornos fechados simples K, K₁,K₂,...,K_n de tal modo que K₁,K₂,...,K_n estão contidas na região limitada externamente por K.

   

   Então

   K	f(z) dz =	K1	f(z) dz +	K2	f(z) dz +...+	Kn	f(z) dz

   Este resultado é obtido com a introdução de cortes L₁ e −L₁, ligando K a K₁, L₂ e −L₂ ligando K a K₂, ..., L_n e −L_n ligando K a K_n.

   Tomando

   Ω = K + L₁ − K₁ −L₁ + L₂ − K₂ − L₂ +...+ L_n − K_n − L_n

   obtemos um contorno Ω que é fechado e em seu interior está uma pseudo-região simplesmente conexa. Pelo Teorema Integral de Cauchy, temos que

   Ω	f(z) dz = 0

   logo

   K	f(z) dz +	−K1	f(z) dz +	−K2	f(z) dz +...+	−Kn	f(z) dz = 0

   Concluímos então que

   K	f(z) dz =	K1	f(z) dz +	K2	f(z) dz +...+	Kn	f(z) dz

Exercícios resolvidos

1. Se K é um caminho fechado envolvendo os pontos i e −i, calcular a integral

   	K		dz z²+1

   Resolução: A função f(z)=1/(z²+1) é analítica em todo plano complexo exceto em z=i e z=−i. Decompondo esta função pelo método das frações parciais e realizando a integral, teremos:

   	K		dz z²+1	=		K1		1/2i z−i	dz −		K2		1/2i z+i	dz

   onde K₁ é uma circunferência de raio r₁ com centro em i e K₂ é uma circunferência de raio r₂ com centro em −i de modo que as circunferências sejam disjuntas e estejam contidas no interior de K. Sobre a circunferência K₁ temos que |z−i|=r₁ ou seja z−i=r₁ e^it e sobre a circunferência K₂ segue que |z+i|=r₂, isto é, z+i=r₂ e^it, 0<t<2.

   Calculando as integrais separadamente:

   K1		1/2i z−i	dz =	1 2i		2 0	i r1 eit r1 eit	dt =	1 2i	2i =	K2		1/2i z+i	dz =	1 2i		2 0	i r2 eit r2 eit	dt =	1 2i	2i =

   Concluímos que

   K	dz z²+1	= 0

2. Para um caminho fechado K envolvendo apenas um dos pontos i e −i, pelo exemplo anterior temos que

   K	dz z²+1	=

3. Se K é um caminho fechado que não contém qualquer dos pontos i e −i, calcular a integral

   K	dz z²+1

   Resolução: Se i e −i estão fora da região limitada pela curva K e f(z)=1/(z²+1) é analítica em todos os pontos sobre K e também em todos pontos da região limitada por K, então, pelo Teorema Integral de Cauchy:

   K	dz z²+1	= 0

4. Se p é um número complexo e K é um caminho fechado orientado positivamente envolvendo o ponto z=p. Calcule a integral

   K	dz z−p

   Solução: Se K₁ é uma circunferência de raio r envolvendo o ponto z=p e inteiramente contido no interior de K. A função integranda 1/(z−p) é analítica no domínio entre K e K₁. Sobre a circunferência K₁ temos que z−p=r e^it, 0<t<2, logo

   K	dz z−p	=	K1	dz z−p	=		2 0	i r eit r eit	dt = 2i

5. Calcular a integral

   K	(6z²+8iz) dz

   onde K é uma curva qualquer unindo os números complexos z₁=1+1i e z₂=2+3i

   Solução: Como f(z)=6z²+8iz é uma função polinomial, f=f(z) é inteira (analítica em todo o plano complexo), então a integral independe do caminho que liga os pontos z₁=1+i e z₂=2+3i e como a função F(z)=2z³+4iz² é uma primitiva da função integranda f, obtemos

   K	(6z²+8iz) dz =		2+3i 1+i	(6z²+8iz) dz = [2z³+4iz²]	2+3i 1+i

Exercícios propostos

1. Se K é um caminho fechado simples limitando uma região de área igual a S, mostrar que

   K	x dz = iS

2. Se K é um caminho fechado simples limitando uma região de área igual a S, mostrar que

   K	y dz = −S

3. Se K é um caminho fechado simples limitando uma região de área igual a S, mostrar que

   K	z * dz = 2iS

4. Seja K um contorno fechado e p um ponto no interior de K. Mostre que

   K	(z−p)−1 dz = 2i    e	K	(z−p) n dz=0,    n −1

   Observação: Tome z−p = r e^it e dz = d(z−p) = r i e^it dt

5. Calcular a integral

   K	ez dz

   sendo K a poligonal com vértices nos números complexos −1, 1 e 1+i.

6. Calcular a integral

   K	[sen(z)−cos(z)] dz

   sendo K a o segmento de reta com extremo nos números complexos −1 e i.

7. Calcular a integral

   K	zn dz

   para n Z e K a poligonal com vértices nos números complexos −i, 2i e 1+i.

8. Calcular a integral

   	4i 0	(z³−2iz+2) dz

   ao longo da poligonal com vértices em 0, 1+i e 4i.

9. Calcular a integral

   	2+i 0	(z²−iz+2) dz

   ao longo de um segmento de reta.