Integral de linha complexa

Seja D um domínio complexo e a função f:D K contínua. Sejam P e Q pontos do domínio D e uma curva K contida inteiramente em D com extremidades em P e Q. Decompomos a curva K em n partes por meio de pontos z₁, z₂, ..., z_n−1 da curva que não são as extremidades de K, sendo estes pontos escolhidos de modo arbitrário, tal que

P=z₀ z₁ z₂ ... z_n−1 z_n=Q

onde a relação z_i z_j significa um tipo de ordem dos números complexos z_k, indicando que z_i está posto antes de z_j na curva sob consideração.

Formamos a soma

Sn =	n k=1	f(ck)(zk−zk−1) =	n k=1	f(ck) Δ zk

onde c_k são números complexos que pertencem aos segmentos de reta [z_k−1,z_k], com k=1,...,n e Δ z_k=z_k−z_k−1.

Façamos o número de subdivisões crescer de tal modo que o comprimento da maior corda |Δz_k| tenda a zero. Assim, se a soma S_n tender a um limite finito, que denotamos simbolicamente por:

		Q P	f(z)dz     ou		K	f(z)dz

este limite será chamado a integral de linha complexa da função f=f(z) ao longo da curva K. Nesse caso, f=f(z) é dita integrável ao longo de K.

Se f é analítica em todos os pontos de um domínio complexo D e K é uma curva contida em D, então f é integrável ao longo da linha K.

Se z=z(t) com a<t<b é uma parametrização da curva K, e a restrição de f ao arco K é uma função contínua g : [a,b] K definida por g(t)=f(z(t)) então, a integral de g no intervalo [a,b] pode ser escrita na forma

	b a	g(t)dt =		b a	f(z(t))dz(t) =		b a	f(z(t)).z'(t)dt

As duas últimas integrais indicam o método da substituição para o cálculo de integrais de linha complexas.

Exemplo: Calcularemos a integral

I =		1+i 0	z.dz

ao longo da parábola K parametrizada por z(t)=t+it² com t [0,1].

	1+i 0	z.dz =		1 0	z(t).z'(t)dt =		1 0	(1+it²)(1+2it)dt = i

Exemplo: Calcularemos

M =		K	z *dz

de z=0 a z=4+2i ao longo da curva K definida pela parábola z=t²+it.

As parametrizações da parábola são dadas por x=t² e y=t para t [0,2].

A integral de linha é:

	K	z *dz =		2 0	z *(t)z'(t)dt =		2 0	(t²−it)(2t+i)dt =		2 0	(2t³−it²+t)dt =10−8i/3

Se f(z(t))=u(t)+i.v(t) é uma função contínua da variável t em [a,b], a integral de linha complexa pode ser expressa em termos de integrais de linha das partes real e imaginária da função f=f(z(t)), onde u(t)=Re[f(z(t))] e v(t)=Im[f(z(t))]. Desse modo

	K	f(z) dz =		K	(u+iv)(dx+idy) =		K	(udx−vdy) + i		K	(vdx+udy)

Exemplo: Calcularemos

J =		K	dz z

onde K é a circunferência centrada na origem e raio r. A parametrização da circunferência é z(t) = r[cos(t)+isen(t)] onde 0<t<2. Assim:

	K	dz z	=		20	r(−sen(t)+ i cos(t)] r[cos(t)+ i sen(t)]	dt =		20	i.dt =2 i

Outro modo de calcular esta integral é escrever a equação da circunferência na forma exponencial, isto é, z(t)=r e^it. Assim dz(t)=i r e^it dt com 0<t<2e a integral será calculada como:

	K	dz z	=		20	i r eit r eit	dt = 2 i

Propriedades das integrais complexas

1. Aditividade: Seja f=f(z) e g=g(z) funções contínuas e K uma curva simples, então

   	K	[f(z)+g(z)]dz =		K	f(z)dz +		K	g(z)dz

2. Múltiplo escalar: Se f=f(z) é uma função contínua, K uma curva simples e μ é um escalar complexo, então

   	K	(μ f)(z)dz = μ		K	f(z)dz

3. Simetria: Se K é uma curva simples parametrizada por z=z(t) com a<t<b, então a curva −K é parametrizada por z=z(−t) com −b<t<−a e além disso

   	−K	f(z)dz = −		K	f(z)dz

4. Decomposição da curva em 2 partes: Se a curva K pode ser decomposta como a reunião de duas curvas justapostas K₁ e K₂, dizemos que K é uma justaposição de curvas e escrevemos K=K₁+K₂. Assim, a integral sobre K é a soma das integrais sobre K₁ e K₂:

   	K1+K2	f(z)dz =		K1	f(z)dz +		K2	f(z)dz

5. Decomposição da curva em n partes: Se a curva K pode ser decomposta como a reunião de n curvas justapostas K₁, K₂,..., K_n, dizemos que K é uma justaposição de n curvas e escrevemos K=K₁+K₂+...+K_n. Assim, a integral sobre K é a soma das integrais sobre K₁, K₂,..., K_n:

   	K1+...+Kn	f(z)dz =		K1	f(z)dz +...+		Kn	f(z)dz

6. Estimativa modular: Se f=f(z) é uma função contínua e K é uma curva simples, então o módulo da integral é dominado pela integral do módulo da função:

   |		K	f(z) dz| <		K	|f(z)| |dz|

   Demonstração: Se a curva K é parametrizada por z=z(t), com a<t<b e como:

   	K	f(z) dz=	lim |P| 0	n k=1	f(ck) Δ zk

   onde c_k são números complexos que pertencem aos segmentos de reta [z_k−1,z_k], com k=1,...,n, Δ z_k=z_k−z_k−1 e |P| é comprimento da maior corda |Δ z_k|.

   Pela desigualdade triangular

   |	n k=1	f(ck) Δ zk| <	n k=1	|f(ck) Δ zk| =	n k=1	|f(ck)||Δ zk|

   Tomando limites quando |P|0 em ambos os membros desta equação,

   |		K	f(z)dz| <		K	|f(z)| |dz|

Exemplo: Para exemplificar a propriedade (4) sobre a decomposição de curvas, calcularemos

N =		K	z * dz

de z=0 a z=4+2i ao longo da curva K obtida pela justaposição do segmento de reta ligando z=0 e z=2i, e, do segmento de reta ligando z=2i e z=4+2i.

Decomporemos a curva K em duas partes, K₁ e K₂, tal que

K₁={x(t)=0, y(t)=t, t (0,2)}     e    K₂={x(t)=t, y(t)=2, t (0,4)}

A integral é dada por:

	K	z *dz =		K1	(x−iy)(dx+idy) +		K2	(x−iy)(dx+idy)

que também pode ser escrita como:

	K	z *dz =		2 0	(−it)(i)dt +		4 0	(t−2i)dt =8−8i

Exercicios propostos

Para cada caso, calcular a integral complexa de f=f(z) sobre a curva indicada.

Função complexa	Curva no plano complexo
f(z)=Re(z)	Segmento de reta ligando z=0 a z=2+i.
f(z)=Re(z)	Semicircunferência |z|=1, 0<arg(z)< sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=Re(z)	Circunferência |z−a|=R.
f(z)=Im(z)	Segmento de reta K ligando z=0 a z=2+i.
f(z)=Im(z)	Semicircunferência |z|=1, 0<arg(z)< sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=Im(z)	Circunferência |z−a|=R.
f(z)=|z|	Segmento de reta a origem ao ponto z=2−i.
f(z)=|z|	Semicircunferência |z|=1, 0< arg(z)< sendo que o caminho inicia em z=1.
f(z)=|z|	Semicircunferência |z|=1, −/2< arg(z)</2 sendo que o caminho inicia no ponto z=−i.
f(z)=|z|	Semicircunferência |z|=R.
f(z)=|z|z*	Contorno fechado composto pela semicircunferência superior |z|=1 e pelo segmento de reta −1<x<1, y=0.