Uma curva orientada (ou arco orientado) no plano complexo é um conjunto K de pontos descrito na forma:
em que z(t)=x(t)+iy(t) é uma função complexa com variável real t.
Exemplo: A função z(t)=1+2it definida para −1<t<1 representa um segmento de reta ligando os pontos z0=1−2i a z1=1+2i no plano complexo.
Exemplo: A função complexa z(t)=t+it² definida para −2<t<2 é uma parábola orientada da esquerda para a direita.
Quando uma curva K é representada por z(t)=x(t)+iy(t) com x=x(t), y=y(t) e a<t<b, a variável t recebe o nome de parâmetro e a função complexa de variável real z=z(t) é uma parametrização (representação paramétrica) do arco (ou curva). Os pontos da curva K são orientados de acordo com os valores crescentes do parâmetro t. O sentido positivo da curva K é aquele dado quando se faz t crescer.
Uma função complexa z(t)=x(t)+iy(t) do parâmetro t
[a,b] é contínua em t=t0 se, e somente se, a sua parte real x=x(t) e a sua parte imaginária y=y(t) são funções contínuas reais em t=t0. Se z=z(t) é contínua para todo t[a,b], diz-se que z=z(t) é uma curva contínua sobre o intervalo [a,b].
Na seqüência, apresentaremos características geométricas e analíticas de algumas curvas e regiões no plano complexo.
Uma curva de Jordan no plano complexo é uma curva em que cada ponto z=z(t) é imagem de um único valor de t[a,b], razão pela qual, cada ponto da curva recebe o nome de ponto simples. Esta curva também recebe o nome de curva simples ou arco simples.
Exemplo: A função complexa z(t)=t³+it definida sobre [−1,1] é uma curva cúbica orientada da esquerda para a direita.
Esta curva é percorrida uma única vez quando t percorre o intervalo [a,b]. A função z=z(t) é injetiva e desse modo, valores distintos de t correspondem a pontos distintos da curva z=z(t).
Uma curva parametrizada z=z(t) é fechada se para a<t<b, tem-se que z(a)=z(b), isto é, as extremidades coincidem.
Um ponto múltiplo de uma curva parametrizada por z=z(t) com a<t<b, é obtido como a imagem de dois ou mais valores distintos de t, isto é, existem pelo menos dois valores distintos t1[a,b] e t2[a,b] tal que z(t1)=z(t2).
Observações: No ponto múltiplo ocorre a auto-interseção da curva. Se um ponto não é múltiplo, ele recebe o nome de ponto simples.
Se uma curva parametrizada z=z(t) com a<t<b não é uma curva simples, ela contém pelo menos um ponto múltiplo.
Exemplo: A função z(t)=(t³−12t)+t²i definida para −4<t<4 é uma curva (à esquerda) contendo um ponto múltiplo.
Uma curva fechada (à direita) com ponto múltiplo é o Limaçon de Pascal.
Uma curva fechada simples é aquela em que todos os pontos são pontos simples, exceto as extremidades.
Exemplo: A circunferência com raio 2, centrada na origem, tem equação
definida para 0<t < 2
é uma curva fechada simples.
Exemplo: A cardióide parametrizada por
definida para 0<t < 2é um curva fechada simples.
Como já definimos antes, uma curva fechada simples também recebe o nome de curva de Jordan.
Curva regular é uma curva parametrizada por z(t)=x(t)+iy(t) com a<t<b que possui derivada z'(t)=x'(t)+iy'(t) e esta derivada é uma função contínua tal que z'(t) 
0 para todo t[a,b].
Exemplo: Uma parametrização para o segmento AB pode ser construída por
onde 0<t<1.
Exemplo: O segmento de reta definido por z(t)=t+i para t[1,3] é uma curva regular pois sua derivada z'(t)=1+0i é uma função contínua e diferente de zero.
Exemplo: O segmento de reta definido por z(t)=−2+ti para t[−2,2] é uma curva regular pois sua derivada z'(t)=0+1i é uma função contínua e diferente de zero.
Contorno (ou caminho) é uma curva que consiste na reunião de um número finito de curvas regulares. A palavra contorno é muito usada, pois é comum uma curva envolver (contornar) uma região do plano complexo.
Toda curva fechada simples K decompõe o plano cartesiano em duas regiões tendo K como fronteira, uma região limitada denominada o interior da curva K e outra região não limitada, denominada o exterior da curva K.
Este resultado é fácil de ser visualizado, mas a demonstração não é simples.
Uma região R é simplesmente conexa quando toda curva de Jordan contida em R possui em seu interior somente pontos de R (figura à esquerda). Do ponto de vista geométrico, uma região simplesmente conexa é a que não possui buracos. Uma região que não é simplesmente conexa é denominada multiplamente conexa (figura à direita).
