Seja f:D 
C uma função complexa onde D é um domínio complexo. A derivada da função f no ponto z0 é definida por
| lim z zo |
f(z)−f(z0)
z−z0 |
|---|
Se o limite acima existir, denotamos a derivada da função f por f' e escrevemos:
| f'(z0) = | lim z zo |
f(z)−f(z0)
z−z0 |
|---|
Tomando h=z−z0, a última expressão pode ser reescrita na forma:
| f'(z0) = | lim h 0 |
f(z0+h)−f(z0)
h |
|---|
Exemplos:
Seja f:C C definida por f(z)=z². A derivada de f no ponto z0 
C é dada por
| f'(z0) = | lim z zo |
z²−z0²
z−z0 |
= | lim z zo |
(z−z0)(z+z0)
z−z0 |
= | lim z zo |
(z+z0) = 2z0 |
|---|
Seja f:C C definida por f(z)=Re(z). Tomando z=x+iy, f(z)=x e z0=x0+iy0, poderemos escrever
| f'(z0)= | lim h 0 |
f(z0+h)−f(z0)
h |
|---|
Para que uma função possua derivada em um ponto z0, o limite não pode depender do modo como h tende a zero. Tomando h 0 por valores reais h=k, obteremos:
| f'(z0) = | lim k 0 |
(x0+k)−(x0)
k |
= 1 |
|---|
Tomando h 0 por valores imaginários h=it, teremos:
| f'(z0) = | lim t 0 |
x0−x0
it |
= 0 |
|---|
Como os limites são distintos, concluímos que f(z)=Re(z) não possui derivada no conjunto dos números complexos.
Seja D um domínio complexo, isto é, um conjunto aberto e conexo e f:D C. A função f é analítica em D se f possui derivada em todos os pontos z0 em D. f é analítica em um ponto z0, quando f é analítica em uma vizinhança aberta de z0. Na literatura, é comum encontrarmos as palavras holomorfa e regular como sinônimos da palavra analítica.
Uma função f:C C é uma função inteira se ela é derivável em todo ponto z C, isto é, se f for analítica em todo o plano complexo.
Uma função real f=f(x) pode ter a primeira derivada contínua e no entanto não possuir a segunda derivada.
No sistema complexo, esta situação não ocorre, pois se f=f(z) possui a primeira derivada, também deve possuir todas as outras derivadas.
Acerca da analiticidade, podemos exibir uma função real f=f(x) que não é analítica mas cuja equivalente complexa f=f(z) é analítica.
Exemplo: A função real definida por f(0)=0 e f(x)= e −1/x se x 
0 não é analítica, mas a função complexa definida por f(0)=0 e f(z)= e −1/z se z 0 é analítica em todo o plano complexo.
Uma função que possui derivada em um ponto isolado de seu domínio não pode ser analítica, pois, a definição acima exige que a função tenha derivada em todos os pontos de um conjunto aberto contendo o referido ponto. O exemplo seguinte trata de uma função que possui derivada em um ponto z0 de seu domínio sem que seja analítica neste ponto z0.
Exemplo: A função f(z)=|z|² é derivável em z=0, pois
| f'(0) = | lim z 0 |
|z|²
z |
= | lim z 0 |
z.z *
z |
= | lim z 0 |
z * = 0 |
|---|
Consideremos z0 C sendo z0 0
| f'(z0) = | lim z z0 |
|z|²−|z0|²
z−z0 |
= | lim z z0 |
(x²−x0²)+(y²−y0²)
(x−x0)+i(y−y0) |
|---|
Este limite não existe, pois quando z z0 por caminhos diferentes, os resultados dos limites são distintos, assim f possui derivada em z0=0 mas não é derivável em qualquer outro ponto distinto z=0. Concluímos então que f não é analítica em z=0.
Se uma função f é analítica em seu domínio D, então ela é contínua neste mesmo domínio D.
Se f e g são funções analíticas sobre um domínio D e k é um número complexo, então f+g, k f, f.g e f/g sendo g 0, são analíticas sobre D, valendo as seguintes regras de derivação:
| (f+g)'=f'+g' | (k.f)'=k.f' | (f.g)'=f'.g+f.g' | (f/g)'=(g.f'−g'.f)/g² |
|---|
Seja h=gof definida por h=g(f(z)) a função composta de f com g. Se f for derivável em z0 e g for derivável em w0=f(z0) então h=g o f é derivável em z0 e além disso:
As regras de derivação para algumas funções analíticas podem ser demonstradas de forma similar àquelas do caso real. As funções usuais do Cálculo de funções reais são analíticas reais e quando estendidas de modo conveniente ao plano complexo, possuem derivadas semelhantes.
| Dz[c] = 0 | Dz[zn] = n z n−1 |
| Dz[ez] = ez | Dz[az] = lna az |
| Dz[sen(z)] = cos(z) | Dz[cos(z)] = −sen(z) |
| Dz[tan(z)] = sec²(z) | Dz[cot(z)] = −csc²(z) |
| Dz[sec(z)] = sec(z).tan(z) | Dz[csc(z)] = −csc(z).cot(z) |
| Dz[ln(z)] = 1/z | Dz[arctan(z)] = 1/(1+z²) |
| Dz[arcsin(z)] = 1/(1−z²)1/2 | Dz[arccos(z)] = −1/(1−z²)1/2 |
| Dz[sinh(z)] = cosh(z) | Dz[cosh(z)] = sinh(z) |
| Dz[tanh(z)] = sech²(z) | Dz[coth(z)] = −csch²(z) |
O problema de sabermos se uma função complexa f é derivável em um ponto z0=x0+iy0 é simplificada pelo fato de sabermos se as partes real e imaginária de f são parcialmente deriváveis em (x0,y0). Seja f:D C, sendo D um domínio em C.
Seja f escrita na forma f(z)=u(x,y)+iv(x,y) onde u e v são funções reais. As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por:
| ∂u
∂x |
= | ∂v
∂y |
e | ∂u
∂y |
= − | ∂v
∂x |
|---|
Teorema: (Equações de Cauchy-Riemann são necessárias para a analiticidade)
Se f(z)=u(x,y)+iv(x,y) é uma função analítica em um ponto z0=(a,b) então, valem as Equações de Cauchy-Riemann, isto é:
| ∂u
∂x |
= | ∂v
∂y |
e | ∂u
∂y |
= − | ∂v
∂x |
|---|
Demonstração: Se f tem derivada em z0, podemos escrever
| f'(z0)= | lim h 0/th> |
f(z0+h)−f(z0)
h |
|---|
Este limite existe independente do modo como h tende a zero. Tomando h 0 por valores reais h = k, teremos:
| f'(z0) = f'(a,b) | = | lim k 0 |
u(a+k,b)−u(a,b) + i [v(a+k,b)−v(a,b)]
k |
||
|---|---|---|---|---|---|
| = | lim k 0 |
u(a+k,b)−u(a,b)
k |
+ i | v(a+k,b)−v(a,b)
k |
logo
| f'(z0) = | ∂u
∂x |
+ i | ∂v
∂x |
|---|
Tomando agora h 0 por valores imaginários h=it, teremos:
| f'(a,b) | = | lim t 0 |
u(a,b+t)−u(a,b) + i [v(a,b+t)−v(a,b)]
it |
||
|---|---|---|---|---|---|
| = | lim t 0 |
u(a,b+t)−u(a,b)
t |
− i | v(a,b+t)−v(a,b)
t |
Desse modo
| f'(z0) = | ∂v
∂y |
−i | ∂u
∂y |
|---|
Assim:
| ∂u
∂x |
+ i | ∂v
∂x |
= | ∂v
∂y |
− i | ∂u
∂y |
|---|
Igualando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos as Equações de Cauchy-Riemann:
| ∂u
∂x |
= | ∂v
∂y |
, | ∂u
∂y |
= − | ∂v
∂x |
|---|
Observação: (Equações de Cauchy-Riemann não são suficientes para a analiticidade)
Existem funções f(z)=u(x,y)+iv(x,y) que satisfazem às equações de Cauchy-Riemann em um dado ponto z0, mas que não possuem derivada neste ponto.
Exemplo: Seja f(z)=u(x,y)+iv(x,y), onde x e y são variáveis reais e definamos u(0,0)=0, v(0,0)=0 e
| u(x,y)= | x³−y³
x²−y² |
e v(x,y)= | x³+y³
x²+y² |
|---|
As equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em (0,0) pois
| ux(0,0) | = | lim h 0 |
u(h,0)−u(0,0)
h |
= | lim h 0 |
h³/h²
h |
= 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| uy(0,0) | = | lim h 0 |
u(0,h)−u(0,0)
h |
= | lim h 0 |
−h³/h
h |
= −1 |
| vx(0,0) | = | lim h 0 |
v(h,0)−v(0,0)
h |
= | lim h 0 |
h³/h²
h |
= 1 |
| vy(0,0) | = | lim h 0 |
v(0,h)−v(0,0)
h |
= | lim h 0 |
h³/h²
h |
= 1 |
Acontece que f(z)=u(x,y)+iv(x,y) não tem derivada em (0,0), pois
| f'(0) | = | lim z 0 |
f(z)−f(0)
z−0 |
= | lim z 0 |
u(x,y)+iv(x,y)
x+iy |
= | lim z 0 |
x²+xy+y²
(x+y)(x+iy) |
+ i | x³+y³
(x²+y²)(x+iy) |
|---|
Tomando z 0 através da reta real x=0, obtemos
| f'(0) = | lim y 0 |
y+iy
iy |
= 1−i |
|---|
Tomando z 0 através da reta y = 0, obtemos
| f'(0) = | lim x 0 |
x+ix
x |
= 1+i |
|---|
Isto mostra que f não possui derivada em z=0+i0=(0,0).
Concluímos que as equações de Cauchy-Riemann não são suficientes para garantir que f(z)=u(x,y)+iv(x,y) possua derivada.
Se, além de satisfazer às equações de Cauchy-Riemann, acrescentarmos o fato que as derivadas de primeira ordem de u=u(x,y) e v=v(x,y) sejam contínuas numa região D, obteremos as condições para garantir que f possui derivada.
Teorema: (Condição necessária e suficiente para a analiticidade)
Seja f(z)=u(x,y)+iv(x,y), onde u=u(x,y) e v=v(x,y) são funções reais. f é analítica em um ponto z0=x0+iy0 se, e somente se, u=u(x,y) e v=v(x,y) possuem derivadas de primeira ordem contínuas em (x0,y0) e além disso, valem as Equações de Cauchy-Riemann.
Exemplos: Analisaremos alguns exemplos já tratados anteriormente.
f(z)=z²
u=x²−y², v=2xy, ux=2x, uy=−2y, vx=2y, vy=2x Como ux=vy e uy=−vx e as derivadas de primeira ordem são contínuas em todos os pontos de R² esta função é analítica em todo o plano complexo, isto é, f ela é inteira.
f(z)=Re(z)
u=x, v=0, ux=1, uy=0, vx=0, vy=1. Assim as equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em qualquer ponto de R².
f(z)=|z|²
u=x²+y², v=0, ux=2x, uy=2y, vx=0, vy=0. As equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas na origem e a função só possui derivada em (0,0) não sendo analítica em z=0, pois as derivadas parciais de primeira ordem não são contínuas em (0,0).