Função contínua em um ponto do plano complexo

Seja f:D C e w um ponto de acumulação de DC. Uma função f é contínua em z₀, se o limite de f no ponto w for igual a f(w), isto é:

lim z w	f(z) = f(w)

Três condições estão estabelecidas nesta definição:

1. f=f(z) deve estar definida em w

2. lim_{z w}  f(z) deve existir

3. lim_{z w}  f(z) = f(w)

Descontinuidade removível e essencial

Se a função f não é contínua em um ponto w mas lim_{z w} f(z) existe, a descontinuidade é dita removível. Neste caso podemos obter uma função F contínua em z₀, definindo F de modo que sejam satisfeitas as três condições da definição.

Quando a função não é contínua prque o limite da função em um dado ponto não existe, a descontinuidade neste ponto é dita essencial.

Exemplos:

1. A função f(z)=(z²+1)/(z−i) possui uma descontinuidade removível em z₀=i pois

   lim z i	z²+1 z−i	= 2i

   mas a função não está definida para z=i. Neste caso, definimos uma nova função F tal que F(z)=f(z) para z i e F(i)=2i

   Esta nova função F é contínua em todos os pontos do plano complexo.

2. Para a função definida em todo o plano complexo por: f(z)=z se z 0 e f(0)=1.

   z=0 é uma descontinuidade removível, pois lim_{z 0} f(z)=0 mas f(0)=1. A função F definida por F(z)=z para todo z C é contínua em zero.

3. A função definida por f(z)=z/|z| possui uma descontinuidade essencial em z=0 porque o limite quando z 0 não existe.

Função contínua em uma região do plano complexo

Uma função f é contínua numa região D do plano complexo se, f é contínua em todos os pontos da região D.

Composição de funções no plano complexo

Sejam f: D E e g: E C funções complexas, sendo D e E subconjuntos de C. A função h:D C definida por h(z)=g(f(z)) é denominada a função composta das funções f e g na ordem que foram apresentadas. Esta composição é denotada por h=gof.

Teoremas sobre a continuidade de funções complexas

1. Se f e g são funções contínuas em z₀ D, então as funções f+g, f−g e f.g são contínuas em z₀. Quando f/g estiver definida em z₀, esta função também será contínua em z₀.

2. Se f: D E é uma função contínua em z₀ D e g: E C é uma função contínua em f(z₀) E, então a função composta h=gof será contínua em z₀.

3. Se a função f é contínua numa região D, então a parte real de f e a parte imaginária de f, são funções contínuas nesta região D.

Exercícios

1. Dada a função f definida por f(z)=(z²+4)/(z−2i) se z 2i e f(2i)=3+4i.

   1. Provar que quando z 2i, o limite lim f(z) existe e calcular o valor deste limite.

   2. É verdade que f é contínua em z=2i?

   3. Mostrar que f é contínua nos pontos onde z 2i.

2. Determinar todos os pontos de descontinuidade para cada uma das funções abaixo:

   1. f(z)=(2z−3)/(z²+2z+2)

   2. f(z)=(z²+4)/(z ⁴−16)

   3. f(z)=(z²+1)/(z²−3z+2)

3. Redefinir as funções dadas abaixo de modo que elas sejam contínuas em z=a.

   1. f(z)=(z−a)/(z−a)

   2. f(z)=(z³−a³)/(z−a)

   3. f(z)=(z ⁻²−a ⁻²)/(z−a)