Limite de uma função complexa

Seja z₀ um ponto de acumulação de um subconjunto D de C e f:D C uma função complexa. O número complexo L é o limite de f quando z tende a z₀ se, dado qualquer ε>0, existe um número positivo δ>0 sendo δ=δ(ε,z₀) tal que se z D com 0<|z−z₀|<δ, então

Denotamos este fato por

lim zzo	f(z) = L

Em palavras, a definição acima afirma que, uma função f=f(z) tem limite L quando z está se aproximando de z₀, se a distância entre f(z) e L pode ser tomada arbitrariamente pequena desde que z esteja suficientemente próximo de z₀.

Observe que, na definição acima não é exigido que a função esteja definida no ponto z=z₀ para que exista o limite

lim zzo	f(z)

A noção de limite de uma função em um ponto z₀ diz respeito ao comportamento da função nos pontos próximos a z₀ e não necessariamente no próprio z₀.

Exemplos:

1. Seja f(z)=4z−2. Com a definição de limite, podemos mostrar que

   lim z1	f(z)	=	lim z1	(4z-2)	= 2

   Tomando ε>0, é possível construir δ=ε/4>0 tal que se 0<|z−1|<δ, então

   |(4z−2)−2|<ε

   Realmente,

   |f(z) − 2| = |(4z−2)−2|=|4z−4|=4|z−1| < 4 δ = є

2. Para provar que quando z 3 tem-se que limz²=9 usando a definição de limites, devemos mostrar que, dado ε>0, existe um δ>0, tal que se 0<|z−3|<δ, então:

   |z²−9| < ε

   Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo ε. Assim:

   |z²−9| = |(z−3)(z+3)| < ε

   Como esperamos que δ seja arbitráriamente pequeno, podemos supor 0 < δ<1 e assim escrever

   0 < |z−3| < δ<1

   Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, temos

   |z+3| = |(z−3)+6| < |(z−3)|+6 < 1+6 = 7

   o que implica

   |(z−3)(z+3)| < 7 δ

   Escolhendo δ =min{1,ε/7 }, obteremos para 0<|z−3|<δ que

   |z²−9| < ε

   ou seja

   lim z3	z²=9

3. Quando z i observamos que o limite lim z²=−1, e isto significa que quando z está bastante próximo de i, os valores de f(z) estão muito próximos de −1. Suspeitamos então que

   lim z1	f(z)=−1

   Para provar isto, devemos mostrar que, dado ε>0, existe um δ>0, tal que se 0<|z−i|<δ, então:

   |z²−(−1)| < ε

   Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo ε. Assim:

   |z²−(−1)| = |(z−i)(z+i)| < ε

   Como esperamos que δ seja arbitrariamente pequeno, supomos 0<δ<1 e assim escrever

   0 < |z−i| < δ<1

   Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, obtemos

   |z+i| = |(z−i)+2i| < |(z−i)|+2 < 1+2 = 3

   o que implica

   |(z−i)(z+i)| < 3 δ

   Escolhendo δ=min(1, ε/3), obtemos para 0<|z−i|<δ que

   |z²+1| < ε

   ou seja

   lim zi	f(z) =	lim zi	z² = −1

   
   
   

4. A função f(z)=(z²+1)/(z−i) está definida para z i, mas

   lim zi	z²+1 z−i	= 2i

   Como para z i temos

   f(z) =	z²+1 z−1	=	(z+i)(z−i) z−i	= z+i

   e |f(z)−2i|=|z+i−2i|=|z−i|, então para todo ε>0, obteremos que 0<|z−i|<δ implica que

   |f(z)−2i| = |z−i| < ε

   bastando tomar δ=ε

Função limitada no plano complexo

Diz-se que uma função f: D C é limitada, se o conjunto imagem f(D) é limitado. Dizemos que f é limitada nas vizinhanças de z₀, se existe um disco aberto ou fechado centrado em f(z₀), contendo todos os pontos próximos a f(z₀).

A relação entre função limitada e limite da função

Nem toda função limitada sobre um conjunto possui limite em pontos deste conjunto.

Exemplo: Mostraremos no exemplo (2) que segue, que a função

definida para z 0, não possui limite quando z tende a zero mas é claro que é limitada pois 0 < f(z)<1.

Limites no infinitos e limites infinitos

Seja f:D C. Afirmamos que

1. f=f(z) tem limite finito L quando z ∞ se, dado qualquer ε>0, existe um M>0 tal que |f(z)−L|<ε se |z|>M.

2. f=f(z) tende a ∞ quando z z₀ se, dado qualquer N>0, existe um δ>0 tal que |f(z)|>N se |z−z₀|<δ.

3. f=f(z) tende a ∞ quando z ∞ se, dado qualquer N>0, existe um M>0 tal que |f(z)|>N e |z|>M.

Unicidade do limite de uma função complexa

Se o limite lim f(z) existe quando z z₀, ele deve ser único.

Demonstração: Devemos mostrar que quando z z₀, se tivermos que lim f(z)=A e lim f(z)=B então A=B.

Pela definição de limite, dado ε>0, devemos obter δ>0 tal que se |z−z₀|<δ então

|f(z)−A| < ε/2

e

|f(z)−B| < ε/2

Assim

|A−B|=|A−f(z)+f(z)−B|<|A−f(z)|+|f(z)−B| < ε/2 + ε/2 = ε

Isto significa que |A−B| é menor que qualquer número positivo ε suficientemente pequeno, logo deve ser zero. Segue que A=B.

Teoremas sobre limites

Se lim f(z)=A e lim g(z)=B quando z z₀, então

1. lim [f(z)+g(z)] = lim f(z) + lim g(z) = A+B

2. lim [f(z)−g(z)] = lim f(z) − lim g(z) = A−B

3. lim [f(z).g(z)] = lim f(z) . lim g(z) = A.B

4. lim [f(z)/g(z)] = [lim f(z)]/[lim g(z)] = A/B, desde que B 0.

Demonstração:

1. Pela definição de limite devemos mostrar que para qualquer ε>0 dado, existe δ>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ, então

   |[f(z)+g(z)] − [A+B]| < ε

   Temos que

   |[f(z)+g(z)]−[A+B]| = |[f(z)−A]+[g(z)−B]|<|f(z)−A|+|g(z)−B|

   Como lim f(z)=A e lim g(z)=B, dado ε>0, existe δ₁>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₁ então e

   |f(z)−A| < ε/2

   existe δ₂>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₂

   |g(z)−B| < ε/2

   A partir destas considerações, concluímos que

   |[f(z)+g(z)]−[A+B]| < ε/2 + ε/2 = ε

   desde que 0<|z−z₀|<δ, sendo δ=min(δ₁,δ₂)

2. Demonstração analoga ao ítem anterior com o limite de [f(x)+(−g(x)].

3. Temos que

   |f(z)g(z)−AB|	=	|f(z)[g(z)−B]+B[f(z)−A]|
   	<	|f(z)||g(z)−B|+|B||f(z)−A|
   	<	|f(z)||g(z)−B|+(|B|+1)|f(z)−A|

   Assim,

   |f(z)g(z)−AB|<|f(z)||g(z)−B|+(|B|+1)|f(z)−A|      (1)

   Como lim f(z)=A, dado ε=1, existe δ₁>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₁, então

   |f(z)−A|<1

   Assim

   |f(z)−A| > |f(z)|−|A|

   isto é,

   1 > |f(z)|−|A|

   ou seja

   |f(z)|<|A|+1

   isto é, |f(z)|<k, onde k é uma constante positiva.

   Como lim g(z)=B, dado ε>0, existe δ₂>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₂ então

   |g(z)−B| < ε/(2k)

   Como lim f(z)=A, dado ε>0, existe δ₃>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₃, então

   |f(z)−A| < ε/(2|B|+2)

   Usando estes resultados em (1), obtemos

   |f(z)g(z)−AB| < k ε/(2k) + (|B|+1).ε/(2|B|+2) = ε

   onde 0<|z−z₀|<δ e δ=min(δ₁,δ₂,δ₃)

4. Pelo item anterior, basta mostrar que lim 1/g(z)=1/B pois,

   lim zz0	f(z) g(z)	=	lim zz0	f(z) .	1 g(z)	=A .	1 B	=	A B

   Dado ε=|B|/2, existe δ₂>0 tal que se 0<|z−z₀|<δ₂ então

   |g(z)−B| < |B|/2

   Então

   |	1 g(z)	−	1 B	| = |	B−g(z) g(z).B	| < 2	|B−g(z)| |B|²

   Como por hipótese, lim g(z)=B, dado ε>0, existem δ₁>0 tal que

   |g(z)−B| < ε

   desde que 0<|z−z₀|<δ₁.

   Escolhendo δ=min(δ₁,δ₂), obteremos

   |	1 g(z)	−	1 B	| <	2ε |B|²

   sempre que 0<|z−z₀|<δ, o que completa a demonstração.

Exemlos: Com este teorema podemos calcular diretamente os limites.

1. Para calcular o limite

   lim z3	3z²−4z+3

   aplicamos diretamente as propriedades 1, 2 e 3 do último teorema.

   	lim z3	3z²−4z+3	= 3	lim z3	z2	+	lim z3	z −4	lim z3	z +	lim z3	3 = 18

2. Dada a função f(z)=(z²−1)/(z−1), observamos que ela não está definida para z=1, embora esteja definida para z 1

   lim z1	z²−1 z−1	=	lim z1	(z−1)(z+1) z−1	=	lim z1	(z−1)(z+1) z−1	=	lim z1	z+1=2

Decomposição de uma função e a relação com o limite

Seja a função w=f(z) com domínio D. Decompondo esta função complexa w em suas partes real e imaginária, teremos:

w = u(x,y) + i v(x,y)

sendo u=u(x,y) e v=v(x,y) funções reais, definidas no subconjunto D, agora pensado como um conjunto de R².

Deste modo, uma condição necessária e suficiente para que

lim zz0	f(z) = L = a+bi

com z₀=x₀ + i y₀, é que, a e b sejam, respectivamente, os limites das funções reais u=u(x,y) e v=v(x,y) em z₀=(x₀,y₀), isto é:

lim zz0	f(z) =	lim zz0	u(x,y) + i	lim zz0	v(x,y) = a + bi = L

Esta forma de decomposição é utilizada para mostrar que algumas funções complexas não possuem limite em algum ponto, isto é feito consideranddo que o limite quando existe é único, então se exibirmos para uma dada função dois limites diferentes quando tomamos caminhos diferentes estaremos mostrando que o limite não existe.

Exemplos

1. Para mostrar que

   lim z2i	(2x+iy²)=−4i

   consideraremos z=x+iy. Desse modo, z₀=0+2i e

   lim z2i	(2x+iy²) =	lim x0	2x +	lim y2	iy² = −4i

2. Quando z 0, não existe o limite lim z ^*/z.

   Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z 0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e z ^*=x−iy=x, logo, o limite fica mais simples

   lim x0	x x	=1

   Consideremos agora z 0 ao longo do eixo OY. Assim, x=0, z=x+iy=iy e z ^*=x−iy=−iy, logo, o limite pode ser simplicado a

   lim y0	−iy iy	=−1

   Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.

3. Não existe o limite

   lim z0	Im(z²) |z²|

   Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como z se aproxima do ponto 0. Suponha que z 0 ao longo do eixo OX. Assim, y=0, z=x+iy=x e

   Im(z²) |z²|	=	(2xy) x²+y²	=	0 x²	= 0

   logo, o limite é nulo.

   Consideremos agora z 0 ao longo da reta y=x. Assim,

   Im(z²) |z²|	=	(2x²) x²+x²	= 1

   logo, o limite é igual a 1.

   Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como z se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.

4. Mostraremos que

   lim z2i	z z−2i	= ∞

   Precisamos mostrar que para z suficientemente próximo de 2i, |f(z)| torna-se muito grande, em linguagem matemática podemos escrever

   Para todo N>0, existe um δ>0 tal que se |z−2i|<δ então

   |	z z−2i	| > N

   Primeiramente, analisemos como se comporta |f(z)|, sujeitando z à condição 1<|z|<3, não perderemos nada com esta restrição, pois pretendemos que o número z esteja muito próximo de 2i

   |f(z)| = |	z z−2i	| =	|z| |z−2i|	>	1 |z−2i|

   Dado N>0, |f(z)| será maior que N se

   1 |z−2i|	> N

   ou seja, 0<|z−2i|<1/N. Concluímos então que δ < 1/N, mas devemos também exigir que 1<|z|<3, sendo assim δ também deve ser menor que 1, isto é, δ=min(1, 1/N).

   

5. Mostraremos que

   lim z∞	4iz−3 3z−i	=	4i 3

   Devemos mostrar que a distância entre f(z) e 4i/3 será arbitráriamente pequena para valores de |z| suficientemente grandes, para isto devemos garantir que, dado qualquer ε>0, existe M>0 tal que se |z|>M, então

   |	4iz−3 3z−i	−	4i 3	| <ε

   Como

   |	4iz−3 3z−i	−	4i 3	| = |	−13 9z−3i	| =	13 |9z−3i|	<	13 9|z|−3

   esta última desigualdade é facilmente verificada se observarmos que

   |9z−3i| > ||9z|−|3i|| > 9|z|−3

   Supondo que |z|>3, esperamos que M seja suficientemente grande, assim

   |	4iz−3 3z−i	−	4i 3	| <	13 9|z|−3	<	13 (8|z|+|z|)−3	<	13 8|z|

   e isto será menor que ε se |z|>13/(8ε), escolhendo M tal que

   M = max(3, 13/(8ε))

   obtemos

   |	4iz−3 3z−i	−	4i 3	| < ε

   desde que |z|>M.

Exercícios propostos

1. Aplicando a definição de limite provar que, quando z 2, lim 3x−5i=6.

2. Aplicando a definição de limite provar que, quando z 3, lim (z²−9)/(z−3) = 6.

3. Provar que lim 5z=5 quando z 1 e interpretar geometricamente a relação entre ε e δ, usando o fato que δ=ε/5.

4. Provar que lim z²=4,001 é falsa, quando z 2, escolhendo um valor apropriado para ε para mostrar que a expressão matemática não é correta.

5. Calcular o limite lim (z ⁴−81)/(z²−9), quando z 3.

6. Calcular o limite lim (z²−2z−8)/(z²+2z−24), quando z 4.

7. Calcular o limite lim ([1+z]^1/2−[1−z]^1/2)/z, quando z 0.