Equações paramétricas de curvas no plano complexo

Um meio eficiente de estudar curvas no plano complexo é através de equações paramétricas. As coordenadas dos pontos da curva são dadas como funções x=x(t) e y=y(t) de uma variável real t [a,b], que é denominada parâmetro. A curva é orientada no sentido em que o parâmetro t cresce.

C={ z C: z=z(t)=x(t) + i y(t),    a<t<b }

Uma curva orientada complexa, pensada como um conjunto de pontos em R², consiste de pares ordenados da forma [x(t),y(t)] com a<t<b. O sentido positivo da curva C é aquele dado quando se faz t crescer.

Ordenando pontos sobre uma curva

Seja C uma curva com representação paramétrica z=z(t) onde t é um parâmetro pertencente ao intervalo [a,b]. Sejam P e Q dois pontos da curva C tal que P=z(t₁) e Q=z(t₂). Se t₁<t₂, dizemos que P está colocado antes de Q na curva e denotamos isto por

P=z(t₁) z(t₂)=Q

Deste modo, quando t cresce de a até b, os pontos z=z(t) percorrem a curva C desde z(a) até z(b). O número complexo z(a) é denominado a origem da curva C e z(b) é a extremidade da curva C. Tais pontos são denominados os extremos da curva C. Os pontos de C estão assim ordenados e por esta razão a curva é denominada uma curva orientada.

Equação paramétrica da reta no plano complexo

Sejam A=(x₁,y₁) e B=(x₂,y₂) dois pontos fixados no plano cartesiano representando, respectivamente, os números complexos z₁=x₁+iy₁ e z₂=x₂ + i y₂. Seja P=(x,y) um ponto arbitrário da reta que passa pelos pontos A e B, de modo que z=x+iy seja um número complexo.

Desse modo, temos que

Como AP=z−z₁ e AB=z₂−z₁ são colineares, temos que AP=t.AB, ou ainda, z−z₁=t(z₂−z₁) onde t é um número real. Então, a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos α e β é dada pela equação

z = z₁ + t (z₂−z₁)      t R

Parametrização do segmento de reta no plano complexo

Sejam z₁ e z₂ números complexos (ou pontos no plano complexo). Tomando t [0,1] na equação paramétrica da reta, limitaremos o nosso conjunto a um segmento de reta, cujas extremidades são z₁ e z₂. Assim:

z(t) = (1−t)z₁ + t z₂      (0< t<1)

é a parametrização (representação paramétrica) do segmento de reta, com origem em z₁=z(0) e extremidade z₂=z(1). Usamos a notação [z₁,z₂] para denotar o segmento de reta com origem em z₁ e extremidade em z₂. Esta notação é semelhante àquela de um intervalo fechado na reta real.

Exemplo: O segmento de reta de z₁=1−2i até z₂=−3+4i tem equação paramétrica: z(t)=(1−2i)+t(−4+6i) onde 0<t<1.

Ponto médio de um segmento de reta no plano complexo

Para obter o ponto médio de um segmento de reta com equação paramétrica

z(t) = (1−t) z₁ + t z₂      (0< t<1)

basta tomar t=1/2. Realmente, se u=x₁+iy₁ e v=x₂+iy₂, o ponto médio do segmento [u,v] tem coordenadas

Exercício: Sejam u=1+2i, v=4−2i e w=−3+i vértices de um triângulo. Obter a equação da mediana que passa por u e pelo ponto médio do segmento [v,w].

Distância entre pontos no plano complexo

Se u=x₁+iy₁ e v=x₂+iy₂, definimos a distância entre u e v, como:

d(u,v) = |u−v| = [(x₁−x₂)² +(y₁−y₂)²]^1/2

Circunferência no plano complexo

Uma circunferência centrada em p é o lugar geométrico de todos os números complexos z, que estão a uma distância fixa de p, denominada raio da circunferência. Se p=a+bi≡(a,b) é o centro da circunferência e z=x+iy≡(x,y) é um ponto qualquer da circunferência, a distância entre z e p é fixa, normalmente denotada por r. A equação da circunferência toma a forma |z−p|=r ou

Conceitos topológicos no plano complexo

Apresentaremos agora, algumas noções elementares sobre a topologia do plano complexo. Alguns desses conceitos são similares aos da reta real. Estas noções são baseadas na forma de medir a distância entre dois pontos do plano complexo. Existem muitas formas para realizar isto.

1. Disco aberto: Seja p um número complexo e r um número real positivo. Um disco aberto de centro em p e raio r é o conjunto de todos os números complexos z tal que a distância de z a p seja menor do que r. Podemos denotar esta definição por:

   D_r(p)={z:|z−p|<r}

   Exemplo: O conjunto dos pontos z tal que |z−(−2+2i)|<2 é o disco aberto de centro em p=−2+2i e raio r=2.

   

2. Disco fechado: Seja p um número complexo e r um número real positivo. Um disco fechado de centro em p e raio r é o conjunto de todos os números complexos z tal que a distância de z a p seja menor ou igual a r. Denotamos isto por

   D_r[p] = { z:|z−p|<r }

   Exemplo: O conjunto dos pontos z tal que |z−(2+2i)|<2 é o disco fechado centrado em p=−2+2i e raio r=2.

3. Vizinhança aberta: Diz-se que S é uma vizinhança aberta de um número complexo p se, existe um disco aberto centrado em p com um raio positivo r, inteiramente contido em S.

   

4. Vizinhança fechada: Diz-se que S é uma vizinhança fechada de um número complexo p se, existe um disco fechado centrado em p com um raio positivo r, inteiramente contido em S.

5. Ponto de acumulação: Um número complexo p é ponto de acumulação de um conjunto S, se toda vizinhança aberta de p contém pontos de S diferentes do próprio p. Observe que p pode não estar no conjunto S.

   Exemplo: O número complexo p=i é um ponto de acumulação do conjunto S = {i−1/n: n=1,2,3,4,... }.

6. Ponto de aderência: Um ponto p é ponto de aderência de um conjunto S, se toda vizinhança aberta de p contém pontos de S. Observe que p pode não pertencer ao conjunto S e que existe uma sutil diferença entre os conceitos de ponto de acumulação e ponto de aderência.

   Exemplo: Cada número complexo do conjunto S={i+n: n=1,2,...} é um ponto de aderência de S, mas nenhum deles é ponto de acumulação de S.

7. Ponto isolado: Um ponto p é ponto isolado se, não é ponto de acumulação de um conjunto. Isto significa, que é possível construir um disco aberto centrado em p, contendo apenas este ponto.

   Exemplo: Cada número complexo do conjunto S={i+n: n=1,2,...} é um ponto isolado de S.

8. Conjunto fechado: Um conjunto S é fechado, se todo ponto de acumulação de S pertence ao conjunto S.

   Exemplos: Todo disco fechado é um conjunto fechado, entretanto o conjunto S={i−1/n: n=1,2,...} não é fechado, pois o número complexo z=i é um ponto de acumulação de S e não pertence ao conjunto S.

9. Conjunto aberto: Um conjunto S é aberto, se o seu complementar S^c é um conjunto fechado.

10. Conjunto limitado: Um conjunto S é limitado, se existe uma constante M tal que |z|<M para todo z S. Se o conjunto não é limitado, ele é dito ilimitado.

11. Conjunto compacto: Um conjunto S do plano complexo, é dito compacto, se é ao mesmo tempo, fechado e limitado.

12. Ponto interior: Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta de p inteiramente contida em S.

13. Ponto de fronteira: Um ponto p é um ponto de fronteira de um conjunto S, se toda vizinhança de p contém pontos de S e pontos que não estão em S.

    Exemplo: O conjunto dos pontos z tais que |z|=2 consiste na fronteira do disco de centro na origem e raio 2.

14. Ponto exterior: Um ponto p é um ponto exterior a um conjunto S, se ele não é ponto interior de S e também não é ponto da fronteira do conjunto S.

15. Conjunto aberto: Um conjunto S é aberto, se todos os pontos de S são pontos interiores.

16. Linha poligonal: Consideremos dois pontos u e v no plano complexo de modo que z=z(t) com a<t<b, u=z(a) e v=z(b). Uma linha poligonal de u até v é a reunião de um número finito de segmentos de reta, construídos no plano do seguinte modo.

    Particionamos o intervalo [a,b] em um número finito de subintervalos [t₀,t₁], [t₁,t₂],...,[t_n−1,t_n], com

    a = t₀ < t₁ < t₂ < ... <t_n−1 < t_n = b

    onde a cada subintervalo t_j<t<t_j+1 com j=0,...,j=n, corresponde um segmento de reta z=z(t), t_j<t<t_j+1 com a extremidade de cada segmento coincidindo com o início do segmento de reta seguinte, o que significa que a curva formada pela reunião (finita) destes segmento de retas possui limites laterais finitos em cada t_j.

17. Conjunto conexo: Um conjunto S é conexo, se quaisquer dois pontos de S podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida no conjunto S.

    Exemplo: O conjunto S={z: 2<|z|<3 } de todos os números complexos que estão fora do disco fechado com raio 2 e dentro do disco aberto de raio 3, ambos centrados na origem, é um conjunto aberto e conexo.

    

18. Domínio: Um conjunto S é denominado domínio se é, ao mesmo tempo, aberto e conexo.

Exercício: Representar graficamente os seguintes conjuntos de pontos.

(1) |z|=2, (2) 4<|z|<10, (3) Re[(z+1)/(i+1)]>0, (4) Im[(z−i)/i]<0, (5) |(z−i)/(i−1)|=2 e (6) 2<|(z−i)/i|<3.

Exercício: Determinar a equação cartesiana da curva complexa z=(1−t²)^1/2+2ti onde −1< t<1. Construa um esboço gráfico desta curva.