Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita com dim(U)=n e dim(V)=m e sejam também, B1 e B2, respectivamente, bases de U e V. Então, toda transformação linear de U sobre V determina uma única matriz de ordem mxn, relativamente a B1 e B2. Reciprocamente, toda matriz desse tipo determina uma única transformação linear de U em V definida por:
pois toda transformação linear A:U
V pode ser escrita nesta forma, sendo
| A(ej) = |
|
aij fi |
|---|
onde {f1,...,fm} é uma base de V e dada A:UV definida para cada inteiro j tal que 1<j<n, existindo escalares aij tais que isto acontece).
Exemplo: A aplicação F: R³ R² definida por F(x,y,z)=M.(x,y,z) t onde
| M = |
|
|---|
é linear, pois se u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) e p 
R, então
| F(pu+v) | = | F[p(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)] |
|---|---|---|
| = | F[(px1,py1,pz1)+(x2,y2,z2)] | |
| = | F[(px1+x2,py1+y2,pz1+z2)] | |
| = | M.(px1+x2,py1+y2,pz1+z2) t | |
| = | M.(px1,py1,pz1) t + M.(x2,y2,z2) t | |
| = | p F(u) + F(v) |
Exemplo: A transformação T:R²R² definida por T(x,y)=(y,x), que é uma reflexão no plano em torno da reta x=y, é linear, pois tomando T(1,0)=(0,1) e T(1,1)=(1,1), então
logo, a+b=x e b=y, garantindo que a=x−y. Assim (x,y) = (x−y)(1,0) + y(1,1) e
| T(x,y) | = | T[(x−y)(1,0)+y(1,1)] |
|---|---|---|
| = | (x−y) T(1,0) + y T(1,1) | |
| = | (x−y)(0,1) + y(1,1) | |
| = | (y,x−y+y) = (y,x) |
Também podemos escrever na forma matricial
| T |
|
= |
|
. |
|
|---|
Exemplo: A transformação T:R²R² tal que
| T(x,y) = |
|
. |
|
|---|
não é linear, pois, como a segunda linha é combinação linear da primeira, o determinante desta matriz é nulo. Ainda mais, o posto desta matriz é igual a 1.
Exemplo: Determinar a forma geral T=T(x,y,z) da transformação linear T:R³R² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1).
Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1) de C={e1,e2,e3}. Assim,
Logo x=a, y=b e z=c e desse modo,
| T(x,y,z) | = | T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] |
|---|---|---|
| = | T[x(1,0,0)] + T[y(0,1,0)] + T[z(0,0,1)] | |
| = | x T(1,0,0) + y T(0,1,0) + z T(0,0,1) | |
| = | x(1,0) + y(1,1) + z(1,−1) |
logo
Qual é o vetor vR³, tal que T(v)=(1,2)? Como T(x,y,z)=(x+y+z,y−z), para que tenhamos T(x,y,z)=(1,2), basta resolver o sistema:
| x+y+z = 1 |
|---|
| y−z = 2 |
Somando membro a membro as duas equações, obtemos x+2z=3, de onde segue que x=−2y+3.
Na verdade, existem infinitas soluções para este problema. Se escolhermos y=1, obteremos x=1 e z=3 e v=(1,1,3).
Podemos também resolver este problema da seguinte forma: Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevendo x em função de z, obtemos
Assim (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Fazendo z=t, podemos escrever as equações da reta nas formas paramétricas que passam por P0 e têm a direção v.
ou seja
|
= |
|
= |
|
|---|
Desse modo, v=(−2,1,1) e P0=(−1,2,0).
Poderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2).
Exemplo: Determinar a forma geral T=T(x,y,z) da transformação linear T:R³R² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7).
Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos de D={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}. Assim
| (x,y,z) | = | a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) |
|---|---|---|
| = | (a,0,0) + (b,b,0) + (c,c,c) | |
| = | (a+b+c,b+c,c) |
Logo, x=a+b+c, y=b+c e z=c. Desse modo
| T(x,y,z) | = | T[x(1,0,0) + y(1,1,0) + z(1,1,1)] |
|---|---|---|
| = | T[x(1,0,0)] + T[y(1,1,0)] + T[z(1,1,1)] | |
| = | x T(1,0,0) + y T(1,1,0) + z T(1,1,1) | |
| = | x(1,0) + y(2,3) + z(4,7) |
e desse modo
Exemplo: A projeção Px:R²R tal que Px(x,y)=x é linear, pois
Exemplo: A projeção Py:R²R tal que Py(x,y)=y é linear, pois
Exemplo: A projeção P:R³R² tal que P(x,y,z)=(x,y) é linear, pois
