Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
Geometria
Poliedros
Daniela Harmuch e Ulysses Sodré
Material desta página
1 Poliedro
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço \(R^3\). As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo \(n\) lados.
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
2 Poliedros Regulares
Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com \(n\) lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.
3 Características dos poliedros convexos
Notações para poliedros convexos:
- \(V\) é o número de vértices
- \(F\) é o número de faces
- \(A\) é o número de arestas
- \(n\) é o número de lados da região poligonal regular (de cada face)
- \(a\) é a medida da aresta A, e
- \(m\) é o número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.
Relações matemáticas para elementos de um poliedro convexo
-
Relação de Euler:
\[V+F = A+2\]
-
Número \(m\) de ângulos diedrais:
\[m = 2 A\]
-
Ângulo diedral:
\[d = 2\operatorname{arcsen} \left[ \cos\big(\frac{\pi V}{m}\big)\csc\big(\frac{\pi}{n}\big)\right]\]
-
Raio do círculo inscrito:
\[r = \frac{a}{2} \cot\big(\frac{\pi}{n}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]
-
Raio do círculo circunscrito:
\[R= \frac{a}{2} \text{tan}\big(\frac{\pi V}{m}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]
-
Área da superfície externa:
\[A = \frac{mF}{4V} a^2 \text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]
-
Volume do sólido poliédrico:
\[V = \frac{mF}{24V} a^3 \cot^2\big(\frac{\pi V}{m}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]
4 Relações de Euler em poliedros regulares
As duas relações de Euler relacionam o número \(F\) de faces, o número \(V\) de vértices, o número \(A\) de arestas e o número \(m\) de ângulos entre as arestas.
\[F + V = A + 2, \qquad m = 2A\]
Na tabela seguinte, mostramos o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.
| Tetraedro |
triângulo equilátero |
4 |
4 |
6 |
12 |
| Hexaedro |
quadrado |
6 |
8 |
12 |
24 |
| Octaedro |
triângulo equilátero |
8 |
6 |
12 |
24 |
| Dodecaedro |
pentágono regular |
12 |
20 |
30 |
60 |
| Icosaedro |
triângulo equilátero |
20 |
12 |
30 |
60 |
5 Raios de círculos e Ângulo diedral de poliedros regulares
Notação: \(RCI\) é o raio do círculo inscrito, \(RCC\) é o raio do círculo circunscrito e \(AD\) é o ângulo diedral (d).
\[\begin{array}{lccc} \hline \text{Poliedro} & RCI & RCC & AD \\ \hline \text{Tetraedro} & a\frac{\sqrt{6}}{12} & a\frac{\sqrt{6}}{4} & 70^0 31' 44'' \\ \text{Hexaedro} & a\frac{1}{2} & a\frac{\sqrt{3}}{2} & 90^0 00' 00'' \\ \text{Octaedro} & a\frac{\sqrt{6}}{6} & a\frac{\sqrt{2}}{2} & 109^0 28' 16'' \\ \text{Dodecaedro} & a\frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{100}& a\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4} & 116^0 33' 54'' \\ \text{Icosaedro} & a\frac{\sqrt{7+\sqrt{45}/6}}{2} & a\frac{\sqrt{10+\sqrt{20}}}{4} & 138^0 11' 23'' \\ \hline \end{array}\]
6 Áreas e Volumes de Poliedros regulares
\[\begin{array}{lcc} \hline \text{Poliedro} & \text{Área} & \text{Volume} \\ \hline \text{Tetraedro} & 1a^2 \sqrt{3} & \frac{1}{12} a^3 \sqrt{2} \\ \text{Hexaedro} & 6a^2 & a^3 \\ \text{Octaedro} & 2a^2 \sqrt{3} & \frac13 a^3 \sqrt{2} \\ \text{Dodecaedro} & 3a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}} & \frac14 a^3 (15+7\sqrt{5}) \\ \text{Icosaedro} & 5a^2 \sqrt{3} & \frac{5}{12}a^3 (3+\sqrt{5}) \\ \hline \end{array}\]
