Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regiões poligonais em triângulos.
Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por \(b\) e \(h\). Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
Resposta 02
\(A_2=(2b)(2h)=4bh=4A_1\)A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é \(1:3\). Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados?
Resposta 03
A razão é 1:9Podemos obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?
Resposta 04
Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura, que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como está ilustrado na figura.
Podemos obter a área de um losango cujo lado mede \(10\cm\)?
Resposta 05
Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.
Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo \(10\cm\) e \(16\cm\)?
Resposta 06
\(A = 80\cm^2\)Calcular a área do quadrado com lado medindo \(5/3\cm\).
Resposta 07
\(A = 25/9\cm^2\)Calcular a área do quadrado com perímetro \(12\cm\).
Resposta 08
\(A = 9\cm^2\)Calcular a área do retângulo com comprimento \(3\cm\) e perímetro \(10\cm\).
Resposta 09
\(A 6\cm^2\)Calcular a área do quadrado com perímetro \(12\sqrt{3}\cm\).
Resposta 10
\(A = 27\cm^2\)Um dos lados de um retângulo mede \(10\cm\). Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente aa área do retângulo cujos lados medem \(9\cm\) e \(12\cm\)?
Resposta 11
\(L = 10,8\cm\)Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a \(80\cm^2\), quais são as medidas de seus lados?
Resposta 12
\(L_1=4\cm\) e \(L_2=20\cm\).Que mudança devemos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante, quando a base é multiplicada por 3?
Resposta 13
A altura deve ser dividida por 3.Que mudança devemos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante, quando a altura é dividida por 2?
Resposta 14
A base deve ser multiplicada por 2.Que mudança devemos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante, quando a base é aumentada 25%?
Resposta 15
A altura deve ser diminuída 20%.Que mudança devemos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante, quando a base é diminuída 25%?
Resposta 16
A altura deve ser \(1/3\) maior.Calcular a área de um retângulo cujo lado mede \(s\) e a diagonal mede \(d\).
Resposta 17
Devemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja \(x\) este lado, pelo teorema de Pitágoras temos que: \(d^2=s^2+x^2\), logo \(x^2=d^2-s^2\), assim \(x=\sqrt{d^2-s^2}\). \(A = s x = s \sqrt{d^2-s^2}\)
Um triângulo retângulo tem um ângulo de \(30\) graus. Obter as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por \(a\).
Resposta 18
Dado o triângulo retângulo \(ABC\), traçamos \(BD\) de modo que o ângulo \(CBD\) também tenha \(30\) graus. O triângulo \(ABD\) é equilátero com \(AB=BD=a\) e \(AC=a/2\). Como: \((AB)^2=(AC)^2+(BC)^2\), segue que \(a^2=(a/2)^2+(BC)^2\), logo \((BC)^2=\frac34 a^2\) e obtemos \(BC=a\sqrt{3}/2\). Se a hipotenusa mede \(a\), os catetos medem \(a/2\) e \(a\sqrt{3}/2\).
Um triângulo retângulo tem um ângulo de \(45\) graus. Obter as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por \(a\).
Resposta 19
Dado o triângulo \(ABC\), com hipotenusa \(AB=a\), segue pelo teorema de Pitágoras que: \(a^2=AC^2+CB^2\) e como o triângulo é retângulo com um ângulo de \(45\) graus temos \(AC = CB\), então \(a^2=2(AC)^2\) e \(AC=a/\sqrt{2}\). Assim, se a hipotenusa mede \(a\), os catetos são congruentes e cada uma deles mede \(a \sqrt{2}/2\).
Obter a área de um paralelogramo, se o ângulo \(A\) mede \(30\) graus e as medidas indicadas são: \(AD=4\sqrt{3}\cm\) e \(AB = 8\cm\).
Resposta 20
\(A = 16\sqrt{3}\cm^2\)Obter a área de um paralelogramo, se o ângulo \(A\) mede \(30\) graus e as medidas indicadas são: \(AX=3\cm\) e \(AB = 4\sqrt{2}\cm\).
Resposta 21
\(A = 4\sqrt{6}\cm^2\)Obter a área de um paralelogramo, se o ângulo \(A\) mede \(30\) graus e as medidas indicadas são: \(AB=10\cm\) e \(AD=6\cm\).
Resposta 22
\(A = 30\cm^2\)Obter a área de um paralelogramo, se o ângulo \(A\) mede \(30\) graus e as medidas indicadas são: \(AB=6\cm\) e \(AX= 3\sqrt{3}\cm\)?
Resposta 23
\(A = 18\cm^2\)A parte da frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede \(7\m\), qual é a área frontal da casa?
Resposta 24
\(A = \frac{77}{2}\m^2\)A parte da frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede \(2\sqrt{2}\m\), calcular a área frontal da casa.
Resposta 25
Como a diagonal do quadrado mede \(2\sqrt{2}m\), temos que \(d^2=a^2+a^2=2a^2\), de onde segue que \((2 \sqrt{2})^2=2a^2\), que equivale a \(8=2a^2\). Obtemos assim \(a=2\m\), e a área do quadrado mede \(4\m^2\). Como \(AB=BC\) e o triângulo é retângulo, segue que \(a^2=AB^2+BC^2=2 AB^2\), de onde segue que AB^2=4/2=2. Assim temos: \(AB=\sqrt{2}\). Assim, a área do triângulo mede \((AB \cdot AB)/2=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}/2=1\m^2\) e a área total é dada \(A(tot)=A(Q)+A(T)=5\m^2\).
O lado de um triângulo equilátero \(T1\) mede \(10\cm\). Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero \(T2\) que possui o dobro da área de \(T1\)?
Resposta 26
\(L=10\sqrt{2}\cm\)O lado de um triângulo equilátero \(T1\) mede \(10\cm\). Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero \(T2\) que possui o triplo da área de \(T1\)?
Resposta 27
\(L=10\sqrt{3}\cm\)O lado de um triângulo equilátero \(T1\) mede \(10\cm\). Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero \(T2\) que possui o quádruplo da área de \(T1\)?
Resposta 28
\(L=20\cm\)Os números em cada linha na tabela abaixo, são as medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: base, altura e área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline { } & \text{Base}& \text{Altura}& \text{Área} \\ \hline (a) & & 5 & 10 \\ \hline (b) & 5 & & 12 \\ \hline (c) & 2\sqrt{3} & 3\sqrt{3} & \\ \hline (d) & & 6 & 12 \\ \hline \end{array}\]Resposta 29
Cada resposta está envoldida por uma caixa na tabela abaixo
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline { } & \text{Base}& \text{Altura}& \text{Área} \\ \hline (a) & \fbox{4} & 5 & 10 \\ \hline (b) & 5 & \fbox{24/5} & 12 \\ \hline (c) & 2\sqrt{3} & 3\sqrt{3} & \fbox{9} \\ \hline (d) & \fbox{4} & 6 & 12 \\ \hline \end{array}\]Os números em cada linha na tabela abaixo são as medidas de um trapézio, onde \(b_1\) e \(b_2\) são as bases, \(h\) é a altura e \(A\) a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline { } & b_1 & b_2 & h & A \\ \hline (a) & 10 & 6 & 4 & {} \\ \hline (b) & 5 & 3 & {} & 24 \\ \hline (c) & {} & 5 & 3 & 12 \\ \hline (d) & 1/2 & 1/3 & 1 & {} \\ \hline (e) & 5\sqrt{2} & 3\sqrt{2}& {} & 4\sqrt{6} \\ \hline \end{array}\]Resposta 30
Cada resposta está envoldida por uma caixa na tabela abaixo
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline { } & b_1 & b_2 & h & A \\ \hline (a) & 10 & 6 & 4 & \fbox{32} \\ \hline (b) & 5 & 3 & \fbox{6} & 24 \\ \hline (c) & \fbox{3} & 5 & 3 & 12 \\ \hline (d) & 1/2 & 1/3 & 1 & \fbox{5/12}\\ \hline (e) & 5\sqrt{2} & 3\sqrt{2}& \sqrt{3} & 4\sqrt{6} \\ \hline \end{array}\]Calcular a medida do lado de um triângulo equilátero com a área igual a \(9\sqrt{3}\) unidades de área.
Resposta 31
\(L=3\sqrt{2} \) unidades de área.
Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo equilátero com lado medindo \(6\km\) e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede \(4\km\), de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?
Resposta 32
O fazendeiro possuía \(18\sqrt{3}\km^2\). A nova área é \((18\sqrt{3}+4\sqrt{2})\km^2\)Um trapézio isósceles com bases medindo \(12\cm\) e \(16\cm\) está inscrito em uma circunferência de raio \(10\cm\). Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência está no interior do trapézio.
Resposta 33
Na figura, a altura do trapézio mede \(h=a+b\), onde \(a^2=10^2-8^2=36\), logo \(a=6\), \(b^2=10^2-6^2=64\), logo, \(b=8\), \(h=6+8=14\). A área do trapézio é dada por \((B+b)h/2=(16+12)(7)=196\cm^2\).
Um trapézio isósceles com bases medindo \(12\cm\) e \(16\cm\) está inscrito em uma circunferência de raio \(10\cm\). Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não está no interior do trapézio.
Resposta 34
Na figura em anexo, a altura \(h\) do trapézio mede \(h=b-a\), onde: \(a^2=10^2-8^2=36\), assim \(a=6\). Temos que \(b^2=10^2-6^2=64\), logo \(b=8\) e \(h=8-6=2\cm\). A área do trapézio mede \(\frac12(B+b)h = (16+12)1 = 28\cm^2\).
Calcular a área do trapézio isósceles da figura, em que todos os seus lados tangenciam a circunferência e as medidas são dadas em \(\cm\).
Resposta 35
Seja o triângulo isósceles construído prolongando os lados não paralelos do trapézio, de acordo com a figura. Tomando \(h=AE\) e \(r\) o raio da circunferência inscrita no trapézio. \(BC=18\) e \(DF=8\), logo \(GC=9\) e \(EF=4\). Como o trapézio \(BCFD\) é isósceles, o triângulo \(ABC\) é isósceles. O triângulo \(AGC\) é retângulo com ângulo reto em \(G\). O triângulo \(AEF\) é retângulo com ângulo reto em \(E\) e por semelhança de triângulos, temos que: \(\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{GC}\) implica que \(h/4=(h+2r)/9\), de onde segue que \(h=8r/5\).
O triângulo \(ATO\) tem um ângulo reto em \(T\), pois \(T\) é ponto de tangência. Este triângulo \(ATO\) também é semelhante ao triângulo \(AGC\), logo: \(\frac{AT}{TO}=\frac{AG}{GC}\), \(m(AT)/r=(h+2r)/9 (*)\). Acontece que: \(AT=\sqrt{h^2+2hr}=\sqrt{16r^2/25+2r(8r)/5}=12r/5\). Substituindo este valor em (*), obtemos: \(12r/5r=(h+2r)/9\) logo \(12/5 = (8r/5 +2r)/9\) e obtemos \(r=6\). Seja \(B\) a base maior do trapézio e \(b\) a base menor do trapézio, assim, a área do trapézio é dada por: \(A=(B+b)h/2\), assim \(A=2(18+8)6/2=78\).
No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos \(A=(-3,-2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,3)\) e \(D=(1,3)\). Obter a área do paralelogramo \(ABCD\).
Resposta 36
Seja \(AB\) a base do paralelegramo e \(h\) sua altura, então \(AB=6-(-3)=9\) e \(h=3-(-2)=5\). A área do Paralelogramo é obtida como o produto da base pela altura, então, \(A=9(5)=45\) unidades de área.
Na figura representando o triângulo \(PQR\), o segmento \(TS\) é paralelo ao segmento \(PQ\). Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos \(PQR\) e \(TSR\). Calcular a razão entre a área do triângulo \(RTS\) e a área do trapézio \(PQST\), sob as seguintes condições: \(RT=1\cm\), \(RP=2\cm\).
Resposta 37
\(r = 1:3\)Na figura representando o triângulo \(PQR\), o segmento \(TS\) é paralelo ao segmento \(PQ\). Calcular a razão entre a área do triângulo \(RTS\) e a área do trapézio \(PQST\), sob as seguintes condições: \(RT=2\cm\), \(TP=3\cm\).
Resposta 38
\(r = 4:21\)Na figura representando o triângulo \(PQR\), o segmento \(TS\) é paralelo ao segmento \(PQ\). Calcular a razão entre a área do triângulo \(RTS\) e a área do trapézio \(PQST\), sob as seguintes condições: \(TS=2\cm\), \(PQ=3\cm\).
Resposta 39
\(r = 4:5\)Na figura representando o triângulo \(PQR\), o segmento \(TS\) é paralelo ao segmento \(PQ\). Calcular a razão entre a área do triângulo \(RTS\) e a área do trapézio \(PQST\), sob as seguintes condições: \(TS=R[3]\)\cm, \(PQ=2\cm\).
Resposta 40
\(r = 3:1\)Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas se o lado mede \(6\cm\).
Resposta 41
\(A = 9\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas se o apótema mede \(3\cm\).
Resposta 42
\(A = 27\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas se o raio mede \(6\cm\).
Resposta 43
\(A = 27\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas se o perímetro mede \(t\cm\).
Resposta 44
\(A = t^2 \sqrt{3}/36\cm^2\)Calcular a área de um hexágono regular se o seu lado mede \(4\cm\).
Resposta 45
\(A = 24\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um hexágono regular se o apótema mede \(2\sqrt{3}\cm\).
Resposta 46
\(A = 24\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um hexágono regular se o raio mede \(6\cm\).
Resposta 47
\(A = 54\sqrt{3}\cm^2\)Calcular a área de um hexágono regular se o perímetro mede \(t\cm\).
Resposta 48
\(A = 2t^2\sqrt{3}\cm^2\)\(ABC\) é um triângulo retângulo com ângulo reto em \(C\). Se \(m(AB)=15\cm\) e \(m(BC)=9\cm\), qual é a área do quadrado de lado \(AC\)?
Resposta 49
\(A =144\cm^2\)Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras usadas em Geometria: apótema
, hipotenusa
, cateto
, abscissa
, ordenada
, afastamento
e cota
.
Os números em cada linha da tabela seguinte são as medidas do polígono regular indicado, onde \(L\) é o lado, \(a\) é o apótema, \(P\) é o perímetro e \(A\) a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline {} & L & a & p & A \\ \hline \text{Triângulo} & & 2\sqrt{3} & & \\ \hline \text{Pentágono} & & k & 4 & \\ \hline \text{Hexágono} & k & & & \\ \hline \text{Octógono} & t & k & & \\ \hline \text{Decágono} & & & 40 & 40k \\ \hline \end{array}\]Resposta 51
As respostas estão nos espaços vazios da tabela original:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline {} & L & a & p & A \\ \hline \text{Triângulo} & \fbox{12} & 2\sqrt{3} & \fbox{36} & 36\sqrt{3} \\ \hline \text{Pentágono} & \fbox{4/5} & k & 4 & \fbox{2k} \\ \hline \text{Hexágono} & k & k\sqrt{3}/2 & \fbox{6k} & \frac32 k^2\sqrt{3} \\ \hline \text{Octógono} & t & k & \fbox{8t} & \fbox{4tk} \\ \hline \text{Decágono} & \fbox{2k} & \fbox{2k} & 40 & 40k \\ \hline \end{array}\]Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na razão \(1:2\). Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros?
Resposta 52
A razão entre as áreas é \(1:4\). A razão entre os perímetros é \(1:2\).Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a \(36\cm^2\) e \(64\cm^2\), respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexágono)?
Resposta 53
\(r = 3:4\)Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a \(50\cm^2\) e \(100\cm^2\), respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentágono)?
Resposta 54
\(r = \sqrt{2}:2\)No triângulo \(ABC\), desenhado abaixo, \(AB\) mede \(5\cm\) e altura \(CD\) mede \(8\cm\). Qual deve ser a medida do lado de um quadrado que tem a mesma área que o triângulo \(ABC\)?
Resposta 55
\(L = 2\sqrt{5}\)A área de um polígono de \(n\) lados é \(25/4\) da área de um outro polígono semelhante com \(n\) lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois polígonos?
Resposta 56
\(r = 5:2\)Os pontos \(X\), \(Y\) e \(Z\) são os pontos médios dos lados de um triângulo \(ABC\). Qual é a razão entre a área do triângulo \(ABC\) e do triângulo \(XYZ\)?
Resposta 57
\(r = 1:4\)O lado menor de um polígono de área igual a \(196\cm^2\) mede \(4\cm\). Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menor medindo \(8\cm\).
Resposta 58
\(A = 784\cm^2\)Os lados de um quadrilátero medem \(3\cm\), \(4\cm\), \(5\cm\) e \(6\cm\). Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área \(9\) vezes maior.
Resposta 59
\(L1=9\cm, L2=12\cm, L3=15\cm, L4=18\cm\)Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio \(6\cm\) e o outro circunscrito na mesma circunferência?
Resposta 60
\(r = 1:4\)Na figura ao lado \(D\) e \(E\) são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo \(AC\) e \(BC\). Qual é a razão entre as áreas dos triângulos \(DEC\) e \(ABC\)?
Resposta 61
\(r = 1:3\)Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de raio \(r\) e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?
Resposta 62
\(r = 2:5\)Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio \(r\) e um segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois hexágonos é \(56\sqrt{3}\), qual é o raio da circunferência?
Resposta 53
\(R = 4\)O quadrilátero \(ABCD\) é um retângulo e os pontos \(E\), \(F\) e \(G\) dividem a base \(AB\) em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo \(CEF\) e a área do retângulo?
Resposta 64
\(r = 1/8\)O retângulo \(ABCD\) tem área \(105\m^2\). Qual a medida do lado do quadrado \(EFGC\)?
Resposta 65
Se \(x\) é a medida do lado do quadrado, então \((10+x)(2+x)=105\) e \(x^2+12x-85=0\), logo \(x=5\m\).
De um quadrado cujo lado mede \(8\cm\), são recortados triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do octógono?
