Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Em uma papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como \(1x+2y\), onde \(x\) representa o preço do caderno e \(y\) o preço de cada caneta.

Em um colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo \(1x+1y\) onde \(x\) representa o preço do salgado e \(y\) o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se \(V\) é o valor total de dinheiro disponível e \(T\) é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo \(V-(1x+1y)=T\).

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

1. \(A=b{\times}h\) é a fórmula para calcular a área do retângulo:
2. \(A=b{\times}h/2\) é a área para calcular a área do triângulo:
3. \(P=4a\) é a fórmula para calcular o perímetro do quadrado:

2 Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

3 Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplos:

1. \(a = 7+5+4\)
2. \(b = 5+20-87\)
3. \(c = (6+8)-10\)
4. \(d = (5{\times}4)+15\)

4 Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplos

1. \(A = 2a+7b\)
2. \(B = (3c+4)-5\)
3. \(C = 23c+4\)
4. \(D = 4(2a+c)^2\)

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

5 Prioridade das operações com expressões

Nas operações com expressões algébricaa, devemos obedecer à seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração

Notas quanto à prioridade:

1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por \({\times}\) ou por um ponto \(\cdot\) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos usar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplo1: Consideremos \(P=2A+10\) e tomemos \(A=5\). Assim

Aqui \(A\) é a variável da expressão, \(5\) é o valor numérico da variável e \(20\) é o valor numérico da expressão indicada por \(P\). Observe que ao mudar o valor de \(A\) para \(9\), obtemos:

Se \(A=9\), o valor numérico de \(P=2A+10\) é igual a \(28\).

Exemplo2: Seja \(X=4A+2+B-7\) e tomemos \(A=5\) e \(B=7\). Assim:

Se \(A=5\) e \(B=7\), o valor numérico de \(X=4A+2+B-7\), muda para \(22\).

Exemplo3: Seja \(Y=18-C+9+D+8C\), onde \(C=-2\) e \(D=1\). Então:

Se \(C=-2\) e \(D=1\), obtemos \(Y=18-C+9+D+8C=14\).

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos:

1. Um triângulo equilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede \(5\;\text{cm}\), sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: \(P=a+a+a=3a\). Substituindo \(a=5\;\text{cm}\) nesta expressão, obtemos \(P=3(5)15\;\text{cm}\).
2. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7 cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado \(L\) que é \(A=L{\times}L=L^2\). Assim, se \(L=7\) cm, então \(A=7{\times}7=49\;\text{cm}^2\). Nota: Mudando o valor do lado para \(L=8\) cm, o valor da área muda para \(A=8{\times}8=64\;\text{cm}^2\).
3. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
   
   
4. Se a letra \(y\) é um número natural, escreva a expressão algébrica que representa:
   1. O dobro desse número,
   2. O sucessor desse número,
   3. O antecessor desse número (se existir), e
   4. Um terço do número somado com seu sucessor.
5. Como caso particular do exercício anterior, tome \(y=9\) e calcule o valor numérico:
   1. do dobro de \(y\),
   2. do sucessor de \(y\),
   3. do antecessor de \(y\) e
   4. da terça parte de \(y\) somado com o sucessor de \(y\).
6. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser obtida pela expressão algébrica \(A=(B+b)h/2\), onde \(B\) é a medida da base maior, \(b\) é a medida da base menor e \(h\) é a medida da altura.

6 Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

7 Identificação das expressões algébricas

Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:

onde se observa que ela depende das variáveis literais \(x\) e \(y\), mas é importante identificar tais expressões com nomes como:

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis \(x\) e \(y\).

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

8 Valor numérico de expressão identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se \(p(x,y)=3x^2y\), então para \(x=7\) e \(y=2\) temos que:

Alterando os valores para \(x=-1\) e \(y=5\), obtemos outro valor numérico:

mas dependendo da mudança de \(x\) e de \(y\), poderíamos obter o mesmo

valor numérico que antes. Se \(x=-7\) e \(y=2\), obtemos:

9 A regra dos sinais (produto ou divisão)

10 Regras de potenciação

Para quaisquer \(x,y\in R\) não nulos, e, \(m,n \in Z\), tem-se que:

11 Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal \(+\), o sinal é o positivo.

Exemplos:

1. \(A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x\)
2. \(B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = \;\;3x\)
3. \(C = +(4x)+(-7x) = +4x-7x = -3x\)
4. \(D = +(4x)+(+7x) = +4x+7x = 11x\)

12 Operações com expressões de Monômios

12.1 Somando e subtraindo Monômios

Para somar ou subtrair monômios, primeiramente devemos eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

1. \(A = -(4x)+(-3x) = -4x-3x = -7x\)
2. \(B = -(4x)+(+3x) = -4x+3x = -1x\)
3. \(C = +(4x)+(-3x) = +4x-3x = +1x\)
4. \(D = +(4x)+(+3x) = +4x+3x = +7x\)

12.2 Multiplicando Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A = -(4x^2y)(-2xy) = +8x^{3}y^2\)
2. \(B = -(4x^2y)(+2xy) = -8x^{3}y^2\)
3. \(C = +(4x^2y)(-2xy) = -8x^{3}y^2\)
4. \(D = +(4x^2y)(+2xy) = +8x^{3}y^2\)

12.3 Dividindo Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A = -(4x^2y)÷(-2xy) = +2x\)
2. \(B = -(4x^2y)÷(+2xy) = -2x\)
3. \(C = +(4x^2y)÷(-2xy) = -2x\)
4. \(D = +(4x^2y)÷(+2xy) = +2x\)

12.4 Potências de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A =(+4x^2y)^3= 4^3 x^2y x^2y ^2y = 256 x^{6} y^3\)
2. \(B =(-4x^2y)^3 = -4^3x^2y x^2y x^2y = -256x^{6} y^3\)

13 Alguns Produtos notáveis

No nosso link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

13.1 Quadrado da soma de dois termos

Cuidado: Sabemos que \(x^2=x.x\), \(y^2=y.y\), mas em geral,

e vale a igualdade se um dos dois termos seja nulo. Este erro é muito comum, mas o correto é:

Isto significa que o quadrado da soma de dois números nem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de \(x\) e \(y\), e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número \(13\) pode ser decomposto em \(10+3\):

Compare as duas operações.

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos \(x\) e \(y\), é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

Exemplos:

1. \((x+8)^2 = x^2+2.x.8+8^2 = x^2+16x+64\)
2. \((3k+y)^2 = (3k)^2+2.3k.y+y^2 = 9k^2+6ky+y^2\)
3. \((1+x/5)^2 = 1+ 2x/5 +x^2/25\)

Exercícios: Desenvolver as expressões:

1. \((a+8)^2 =\)
2. \((4y+2)^2 =\)
3. \((9k/8 +3)^2 =\)

Pensando um pouco: Qual é o termo que deve ser posto no lugar de \([\quad]\) para que cada expressão seja coerente?

1. \((x+7)^2=x^2+[\quad]+49\),
2. \((5a+[\quad])^2 = 25a^2+30a+[\quad]\)
3. \(([\quad]+9)^2 = x^2+[\quad]+81\)
4. \((4b+[\quad])^2 = 16b^2+36b+[\quad]\)
5. \((c+8)^2=c^2+[\quad]+[\quad]\)

13.2 Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de \(x\) e \(y\) é igual ao quadrado de \(x\) somado com o quadrado de \(y\) menos o dobro de \(xy\). Resumindo:

Exemplos:

1. \((x-4)^2 = x^2-2.x.4+4^2 = x^2-8x+16\)
2. \((9-k)^2 = 9^2-2.9.k+k^2 = 81-18k+k^2\)
3. \((2/y -x)^2 = (2/y)^2-2.(2/y).x+x^2\)

Exercícios: Complete o que falta.

1. \((5x-9)^2 =\)
2. \((k-6s)^2 =\)
3. \((p-[\quad])^2 = p^2-10p+[\quad]\)

13.3 Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos usar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

Em geral, o produto da soma de \(x\) e \(y\) pela diferença entre \(x\) e \(y\) é igual ao quadrado de \(x\) menos o quadrado de \(y\), isto é,

Exemplos:

1. \((x+2)(x-2) = x^2-2x+2x-4 = x^2-4\)
2. \((g-8)(g+8) = g^2-8g+8g-64 = g^2-64\)
3. \((k-20)(k+20) = k^2-400\)
4. \((9-z)(9+z) = 81-z^2\)

Exercícios: Complete as expressões:

1. \((6-m)(6+m) =\)
2. \((b+6)(b-6) =\)
3. \((6+b)(b-6) =\)
4. \((6+b)(6-b) =\)
5. \((100-u)(100+u) =\)
6. \((u-100)(100+u) =\)