Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
Superior >> Variáveis Complexas
Resíduos
Sônia Ferreira Lopes Toffoli
Material desta página
1 Desenvolvimento de Laurent
Seja \(f\) uma função analítica numa região \(D\), exceto em um ponto singular isolado \(p\in D\). Então numa vizinhança de \(p\) vale o desenvolvimento de Laurent
\[f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{(z-p)^n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-p)^n\]
Para cada \(n=0,1,2,\cdots\), os coeficiente \(a_n\) e \(a_{-n}\) são definidos por
\[a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-p)^{n+1}} dz\]
onde \(C\) é um contorno fechado envolvendo \(p\), contido em \(D\).
2 Definição de resíduo
O resíduo de \(f\) no ponto singular \(p\) é definido como a integral
\[a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz\]
que nem sempre é nula.
3 Teorema dos resíduos
Se \(f\) é uma função analítica numa região \(D\), exceto em um número finito de singularidades isoladas \(z_1\), \(z_2,\cdots\), \(z_n\), pertencentes a \(D\). Representando por \(R_j\) o resíduo de \(f\) em \(z_j\) para \(j=1,2,\cdots,n\). Então
\[\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n R_j\]
onde \(C\) é um contorno fechado contendo todos os pontos \(z_1\), \(z_2,\cdots\), \(z_n\) em seu interior.
No caso em que \(p\) é um polo simples, numa vizinhança de \(p\), temos
\[f(z) = \frac{a_{-1}}{z-p} + a_0 + a_1(z-p) + a_2(z-p)^2 +\cdots\]
ou seja
\[(z-p)f(z) = a_{-1} + a_0(z-p) + a_1(z-p)^2 +\cdots\]
Logo, neste caso o resíduo \(a_{-1}\) é dado pela fórmula
\[a_{-1} =\lim_{z\to p} (z-p)f(z)\]
Exemplo: Seja \(f(z)=1/(1+z^2)\). Esta função possui um pólo simples em \(p=i\). O resíduo é
\[\lim_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+i}=\frac{1}{2i}\]
4 Cálculo do Resíduo em um polo simples
Seja \(f=g/h\), com \(g(p)\neq 0\), \(h(p)=0\), \(h'(p)\neq 0\), isto é, \(p\) é um zero simples de \(h\). Assim, \(p\) é um polo simples de \(f\). Representando por \(R_0\) o resíduo de \(f\) em \(p\), temos:
\begin{align} R_0 & = \lim_{z\to p} (z-p)f(z) \\ & = \lim_{z\to p} (z-p) \frac{g(z)}{h(z)} \\ & = \lim_{z\to p} g(z) \frac{z-p}{h(z)-h(p)} \\ & = \frac{g(p)}{h'(p)} \end{align}
Exemplo: Se \(f(z)=\cot(z)=\dfrac{\cos(z)}{\text{sen}(z)}\), então \(g(0)=\cos(0)=1\), \(h(0)=\text{sen}(0)=0\) e \(h'(0)=\cos(0)=1\). Então, o resíduo é:
\[R_0 = \lim_{z\to 0} \frac{\cos(z)}{\text{sen}'(z)} =1\]
5 Cálculo do Resíduo em um polo duplo
Seja uma função \(f=f(z)\) que possui um pólo de ordem \(2\) em \(p\). Assim,
\[f(z) = \frac{a_{-2}}{(z-p)^2} + \frac{a_{-1}}{(z-p)} + a_0 + a_1(z-p) + \cdots\]
numa vizinhança de \(p\). Daí segue que
\[(z-p)^2f(z) = a_{-2}+a_{-1}(z-p) + a_0(z-p)^2 + a_1(z-p)^3 +\cdots\]
ou seja
\[\frac{d}{dz} [(z-p)^2 f(z)] = a_{-1} + 2a_0(z-p) + 3a_1(z-p)^2 +\cdots\]
Assim, se \(p\) é um polo duplo de \(f\), o resíduo é dado por,
\[R_0= \lim_{z\to p} \frac{d}{dz} [(z-p)^2 f(z)]\]
Esta fórmula pode ser generalizada para o caso de um polo de ordem \(m\).
6 Cálculo do Resíduo em um polo múltiplo
Se \(p\) é um polo de ordem \(m\) de uma função \(f=f(z)\), então,
\[R_0 = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to p} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-p)^{m} f(z)]\]
Exemplo: A função \(f(z)=e^z/z^3\) tem polo de ordem \(3\) no ponto \(p=0\). O resíduo de \(f\) em \(p=0\) é dado por:
\begin{align} R_0 & = \frac12 \lim_{z\to 0} \frac{d^2}{dz^2}[z^3 \frac{e^z}{z^3}] \\ & = \frac12 \lim_{z\to 0} e^z = \frac12 \end{align}
7 Aplicações ao cálculo de integrais reais
Faremos uma aplicação do Teorema dos resíduos ao cálculo de uma integral real.
Seja \(f\) é uma função racional, isto é, \(f=g/h\), onde \(g\) e \(h\) são polinômios.
\[I= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\]
Consideremos que \(g\) e \(h\) são primos entre si, a equação algébrica \(h(x)=0\) não possua raiz real e \(f(x)\to 0\), quando \(x\to \pm\infty\). Com estas hipóteses sobre \(f\), a integral imprópria \(I\) existe.
Consideremos a semicircunferência \(C_r=\{z\in C:\text{Im}(z) < 0,|z|=R\}\), como mostra a figura:
Seja \(K\) o caminho orientado, composto de \(C_r\) e do segmento de reta \([-R,+R]\). Tomemos \(R > 0\) de modo que todos os pólos de \(w=f(z)\) situados no semiplano \(\text{Im}(z) > 0\) estejam no interior de \(K\). Representando por \(R_j\) o resíduo de \(w=f(z)\) no pólo \(z_j\) situado no interior de \(K\), obtém-se, pelo teorema dos resíduos,
\[\int_C f(z)dz= 2 \pi i \sum R_j\]
Como \(K=[-R,+R] \cup C_r\), a última igualdade toma a seguinte forma
\[\int_{-R}^{+R} f(x)dx+ \int_C f(z)dz = 2\pi i \sum R_j\]
Tomando o limite \(R \to \infty\) resulta que:
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum R_j\]
Exemplo: Para calcular a integral
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^4}\]
tomamos \(g(x)=1\), \(h(x)=1+x^4\). As raízes de \(1+x^4=0\) são os números complexos:
\[z_k=e^{i(1+2k)\pi/4}, \tag{$k=0,1,2,3$}\]
Os polos situados no semiplano \(\text{Im}(z) > 0\) são
\[z_1=e^{i\pi/4}\quad \text{e} \quad z_2=e^{3i\pi/4}\]
Daí segue que
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^4} =2\pi i(R_1+R_2)\]
Para calcular os resíduos \(R_1\) e \(R_2\), observamos que \((1+z^4)'=4z^3\) e que os polos são simples.
\begin{align} R_1 & = \frac{1}{4e^{3i\pi/4}}= [\cos(3\pi/4)-i\text{sen}(3\pi/4)]/4= -\sqrt{2}(1+i)/8 \\ R_2 & = \frac{1}{4e^{i\pi/4}}= [\cos(\pi/4)-i\text{sen}(\pi/4)]/4 = \sqrt{2}(1-i)/8 \end{align}
Obtém-se assim
\begin{align} \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{+R} \frac{dx}{1+x^4} & = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^4} \\ & = \pi \sqrt{2}/2 \end{align}
Exercícios propostos
- Classificar as singularidades em \(C\) das seguintes funções
- \(f(z)=z^4/(1+z^2)\)
- \(f(z)=z/\text{sen}(z)\)
- \(f(z)=(z^2-1)/(z^2+1)\)
- \(f(z)=\text{sen}(z)/z^3\)
- \(f(z)=z^3\text{sen}(z^{-1})\)
- Determinar os pólos e suas ordens e os resíduos correspondentes para cada uma das seguintes funções
- \(f(z)=[z-\text{sen}(z)]/z^4\)
- \(f(z)=[z-\text{sen}(z)]/z^6\)
- \(f(z)=(z^2-2z)/[(z+1)^2(z^2+4)]\)
- \(f(z)=e^{\pi i z}/(z-\pi)^4\)
- Calcular a integral \(\oint_K \dfrac{e^z}{(z-i)(z^2+4)}dz\) onde \(K\) é cada um dos círculos:
- \(|z|=3\)
- \(|z-2i|=1/3\)
- \(|z+3i|=3\)
- \(|z-1|=2\).
- Calcular a integral \(\oint_{|z|=4} \dfrac{e^z}{sen(z)} dz\)
- Calcular a integral \(\oint_{|z-1|=1} \text{tan}(3z)dz\)
- Calcular a integral \(\oint_{|z|=4} \dfrac{z^2+1}{(z-i)(z-1)^4} dz\)
- Calcular a integral \(\oint_{|z|=1} \dfrac{(1-z)^4 e^{2z}}{z^5} dz\)