Introdução às séries de Laurent

As séries de potências da forma

∞ n=0	an(z−p)n

são instrumentos apropriados para o estudo das funções analíticas em domínios simplesmente conexos, pois toda função analítica pode ser representada por uma série de potências em seu círculo de convergência. Porém se f for analítica em um domínio D, exeto em um ponto p, este fato não será mais válido. Apresentaremos outro tipo de representação de funções no caso em que o domínio D não é simplesmente conexo, como o caso simples em que f é analítica em D exeto em um ponto p D.

Em geral é possível desenvolver uma função em séries de potências de z−p, mesmo que p seja uma singularidade da função, mas neste caso, a série inclui termos com potências negativas de z.

Teorema de Laurent

Seja f analítica no anel circular D = {z C: r<|z−p|<R }. Então para todo z nesta região

f(z)=	∞ n=1	a−n (z−p)n	+	∞ n=0	an(z−p)n

Os coeficiente a_n e a_−n são dados por

an=	1 2i	C1	f(z) (z−p)n+1	dz

para n=0,1,2,... e

a−n=	1 2i	C2	(z−p)n−1f(z) dz

para n=1,2,3,....

É usual escrever a representação de Laurent na forma:

∞ n=−∞	an(z−p)n

Com os coeficientes a_n dados por

an=	1 2i	C	f(z) (z−p)n+1	dz

sendo C um caminho fechado contido no anel circular D e contendo p em seu interior.

Exemplo: A função f(z)=e^z−1/(z−1)³ é analítica no conjunto D={zC−{1}}. Faremos o desenvolvimento de Laurent neste domínio.

Os coeficientes a_n serão dados por

an=	1 2i	C	ez−1 (z−1)³	dz =	1 2i	C	ez−1 (z−1)n+4	dz

Observe que para n<−4, a_n=0 pois o integrando é uma função analítica e sua integral é zero.

Pela fórmula integral de Cauchy

Dn+3[ez−1]z=1 =	(n+3)! 2i	C	ez−1 (z−1)n+4	dz

assim

Como D[e^z−1]=D² [e^z−1]=...=Dⁿ [e^z−1]=e^z−1, segue que Dⁿ⁺³ [e^z−1]=e^z−1, logo Dⁿ⁺³ [e^z−1]_z=1=1 e temos que

assim

f(z) =	∞ n=−3	1 (n+3)!(z−1)n

ou seja

Exemplo: O desenvolvimento de Laurent também pode ser obtido através de outros procedimentos. Ilustraremos um destes procedimentos com a mesma função do exemplo anterior f(z)=e^z−1/(z−1)³, já sabemos que esta função é analítica em todo o plano complexo exceto em z=1.

Seja u=z−1, então

ou seja

Voltando à variável original, obtemos

Exemplo: A função f(z)=1/[(z−1)(z−2)] é analítica no anel circular D={z C: 1<|z|<2 } com centro na origem. Decompondo esta fração, temos

Primeiramente, seja |z|<2

1 z−2	= −	1 2	1 1−z/2	= −	∞ n=0	zn 2n+1

Agora, para |z|>1

1 z−1	=	1 z	1 1−z−1	=	∞ n=1	1 zn

A representação de Laurent é obtida somando-se estes dois resultados

1 (z−1)(z−2)	=	∞ n=1	1 zn	−	∞ n=0	zn 2n+1

é uniformente convergente no anel circular D={z C: 1<|z|<2 }

Zeros de funções complexas

Seja a função f:D C analítica em D. Um zero de f é um número complexo p D tal que f(p)=0.

Seja f uma função analítica em D, e seja p D um zero de f. Se f for diferente da função nula, existe uma vizinhança de p contida em D tal que

para todo z naquela vizinhança de p, pois f(p)=0.

Como f é diferente da função nula em D, pelo menos uma das derivadas da função f é diferente de zero em p. Seja k, o primeiro número natural para o qual f^(k)(p) 0. A representação em série de potências de f fica,

O número natural k denomina-se a ordem ou a multiplicidade do zero p. Quando k=1, p é um zero simples. Quando k>1, p é um zero múltiplo.

Singularidades isoladas

Um ponto onde uma função f não é analítica é dito um ponto singular ou uma singularidade de f. Há vários tipos de singularidades.

Singularidade isolada: Um ponto p é uma singularidade isolada de f se, não existe qualquer outro ponto isolado em alguma vizinhança de p, isto é, existe δ>0 tal que o disco |z−p|<δ não possui nenhum ponto singular diferente de p.

Singularidade removível: Um ponto singular p é uma singularidade removível de f(z) se existir o limite

lim zp	f(z)

Exemplo: A função f(z)=sen(z)/z possui uma singularidade removível em z=0 pois

lim z0	sen(z) z	=1

Exemplo: A função f(z)=(z−3)/(z²−9) possui uma singularidade removível em z=3 pois

lim z3	z−3 z²−9	=1/6

Pólo: Um ponto p é um pólo de ordem n de f se:

lim zp	(z−p)n f(z) = A 0

Se n=1, p recebe o nome de polo simples. Se g(z)=(z−p)ⁿf(z), com f(z)0 e n um número inteiro positivo, então z=p é um zero de ordem n de g(z). Quando n=1, p é denominado um zero simples. Desse modo, p é um pólo de ordem n da função F(z)=1/g(z).

Exemplo: f(z)=1/[(z−2)³] possui um pólo de ordem 3 em z=2.

Exemplo: f(z)=(4z−3)/[(z−2)³(z−1)(z−3)] possui um pólo de ordem 3 em z=2 e pólos simples em z=1 e z=3.

Singularidade essencial: Uma singularidade essencial é uma singularidade que não é um pólo nem uma singularidade removível.

Exemplo: A função f(z)=e^1/(z−2) possui uma singularidade essencial em z=2

Comportamento no infinito

Uma vizinhança de um ponto p no plano complexo finito C é o interior de qualquer círculo |z−p|=r, para r>0.

Uma vizinhança de um ponto no infinito é o exterior de qualquer círculo |z|>r, para r>0, isto quer dizer que uma vizinhança do infinito é o exterior de qualquer círculo de centro na origem.

A transformação w=1/z leva qualquer vizinhança de z=∞ em uma vizinhança de w=0. Assim o comportamento de uma função f(z) em z=∞ é definido como sendo o mesmo que o de f(1/w) em w=0.

Deste modo, f(z) é analítica, tem singularidade removível, pólo ou singularidade essencial em z=∞, conforme f(1/w) tenha singularidade removível, pólo ou singularidade essencial em w=0

Uma função g é analítica no infinito, se g(1/w) for analítica para w=0. Neste caso,

numa vizinhança de w=0, o que equivale a

numa vizinhança de z=∞. Podemos então dizer que g é regular no infinito se ela puder ser desenvolvida em séries de potências de 1/z numa vizinhança do infinito.