Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
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Séries de potências
Sônia Ferreira Lopes Toffoli
Material desta página
1 Séries de potências
Uma série de potências, é uma série de funções do tipo
\[f(z)= \sum_{n=0}^n a_n(z-p)^n\]
onde os coeficientes da série \(a_n\) com \(n=0,1,2,\cdots\) e os números \(p\) são constantes complexas, \(a_n(z-p)^n\) é denominado o termo geral da série.
Esta série de potências é convergente em \(z=p\), e este ponto, às vezes, é o único ponto no qual a série converge. Em geral, a série pode convergir em outros pontos.
Existe um número positivo \(R\) tal que uma série de potências converge em \(|z-p| < R\), diverge em \(|z-p| < R\), enquanto que em \(|z-p|=R\) a série pode ou não convergir. Este número \(R\) é chamado raio de convergência.
2 Raio de convergência
Teorema 1: A toda série de potências
\[f(z) = \sum_{n=0}^n a_n(z-p)^n\]
está associado um número não negativo \(R\) tal que a série converge absolutamente para todo \(z\) tal que \(|z-p| < R\) e diverge para os \(z\) tal que \(|z-p| < R\). Quando \(R=+\infty\), a série converge em valor absoluto para todo \(z\in C\). Se \(R=0\) a série só converge em \(z=p\).
Teorema 2: O raio de convergência \(R\) da série
\[f(z) = \sum_{n=0}^n a_n(z-p)^n\]
é definido por
\[\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\]
- Se \(\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} =\infty\), tomamos \(R=0\).
- Se \(\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} =0\), tomamos \(R=\infty\).
Nota: O raio de convergência da série, também pode ser obtido por
\[R= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\]
quando este limite existe.
Este resultado decorre do estudo da convergência de séries numéricas de termos positivos. Isto resulta da igualdade
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\]
O comportamento da série sobre a circunferência \(|z-p|=R\) escapa às informações dadas pelos teoremas anteriores.
Teorema 3: Seja \(R\) o raio de convergência de uma série de potências. Então, a série converge uniformemente em todo disco aberto \(r < R\), concêntrico ao círculo de convergência.
Exemplos:
- Seja a série \(\sum_{n=1}^{\infty} nz^n\). Com \(a_n=n\), segue que
\[R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}=1\]
a série converge absolutamente para \(|z| < 1\) e diverge para \(|z| > 1\). Para \(|z|=1\) a série em valor absoluto fica
\[\sum_{n=1}^{\infty} |nz^n|=|n| \to \infty\]
quando \(|n| \neq 0\) e esta a série diverge e concluímos que para \(|z|=1\) a série é divergente.
- Considere a série
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}\]
Como
\[R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2}=1\]
a série converge absolutamente para \(|z| < 1\) e diverge para \(|z| > 1\). Para \(|z|=1\) a série em valor absoluto fica
\[\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{z^n}{n^2}|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}\]
que é uma série convergente (série-\(p\), com \(p=2\)).
Concluímos que a série é absolutamente convergente para todo \(z\) no círculo fechado de centro na origem e raio \(1\).
3 Série de potências e função analítica
Toda série de potências da forma
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-p)^n\]
representa uma função analítica no seu círculo de convergência \(|z-p| < R\).
Esta série pode ser derivada termo a termo qualquer número de vezes, logo, a série das derivadas
\[f'(z)=\sum_{n=0}^{\infty} n a_n(z-p)^{n-1}\]
possui o mesmo raio de convergência \(R\) e também é analítica no mesmo círculo de convergência.
4 Série de Taylor
Seja \(f:D\to C\) uma função analítica sobre um domínio complexo \(D\) tal que para todo \(p\in D\), existe uma, e somente uma série de potências convergente em um disco \(|z-p| < R\), (\(R > 0\)) todo contido em \(D\), cuja soma é igual a \(f\) definida por
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n!} (z-p)^n\]
Este desenvolvimento é a série de Taylor da função \(f\).
Nota: Quando \(p=0\), este desenvolvimento recebe o nome de série de MacLaurin de \(f\) e o teorema acima evidencia a diferença entre o cálculo de funções reais e o cálculo de funções complexas.
Um exemplo clássico para ilustrar esta diferença é dado pela função real tal que \(f(0)=0\) e para \(x\neq 0\) é definida por
\[f(x) = \exp(1/x^2)\]
Esta função possui derivada de todas as ordens em qualquer intervalo com centro na origem, mas o desenvolvimento em série de Taylor desta função no ponto \(x_0=0\) não converge para esta função.
Mas no caso complexo, o teorema acima garante que, para \(f:D\to C\) possui uma representação em série de Taylor num disco de centro \(p\) contido no domínio \(D\) é suficiente que \(f\) seja analítica em \(D\).
Teorema (identidade de séries de potências): Sejam
\[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-p)^n
\quad \text{e} \quad \sum_{n=0}^{\infty} b_n(z-p)^n \]
duas séries de potências convergentes numa vizinhança \(0 < |z-p| < R\) de \(p\). Se as duas séries acima coincidem nesta vizinhança com ponto de acumulação \(p\), então as potências de \((z-p)\) com iguais expoentes possuem coeficientes idênticos, isto é, \(a_n=b_n\) para todo \(n=0,1,2,\cdots\).
5 Representação de funções por série de potências
Função exponencial: Esta é uma função analítica em todo \(C\). Obtemos a série de Taylor de \(f\) em torno do ponto \(p=0\). Neste caso:
\[f(z) = f'(z) = f''(z) = \cdots = f^{(n)}(z) = e^z\]
e assim
\[f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=1\]
para todo \(n\in N\). Assim, o desenvolvimento de Taylor é dado por
\begin{align} \exp(z) & = e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\ & = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} +\frac{z^{4}}{4!}+\cdots \end{align}
válida para todo \(z\in C\), pois esta série possui raio de convergência \(R=\infty\).
Função logarítmica: Seja a função \(f(z)=\log(1+z)\) com o domínio \(D\) sendo todo o plano complexo, excluindo a semi-reta \(S_r=\{x\in R: -\infty < x\leq -1\}\). Esta função \(f:D\to C\) é analítica em \(D\) sendo suas derivadas em \(z=0\) dadas por
\[\begin{array}{rll} \hline
f(z) & = log(1+z) & f(0)=0 \\
f'(z) & = (1+z)^{-1} & f'(0)=1 \\
f''(z) & = -(1+z)^{-2} & f''(0)=-1 \\
f'''(z) & = 2(1+z)^{-3} & f'''(0)=2 \\
f^{iv}(z) & = -2(3)(1+z)^{-4} & f^{iv}(0)=-6 \\
\cdots & = \cdots & & \cdots \\
f^{(n)}(z)& =(-1)^{n-1}(n-1)!(1+z)^{-n} & f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)! \\ \hline
\end{array}\]
então o desenvolvimento de Taylor de \(f\) em torno de \(z=0\) é dado por
\[\log(1+z) = \frac{z}{1}-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+\frac{^5}{5}+\cdots\]
O raio de convergência desta série é \(R=1\), e ela é convergente no interior do círculo unitário \(\{z\in C: |z| < 1\}\). Esta série é denominada série logarítmica.
Desenvolvimento binomial: Seja a função \(f(z)=(1+z)^w\) onde \(w\in C\), esta função é multivalente, com ramificação em \(z=-1\). Vamos supor que \(f(0)=1\) e desenvolver a série de Taylor em torno do ponto \(z=0\).
\[\begin{array}{rll} \hline
f(z) & = (1+z)^w & f(0) = 1 \\
f'(z) & = w(1+z)^{w-1} & f'(0) = w \\
f''(z) & = w(w-1)(1+z)^{w-2} & f''(0) = w(w-1) \\
\cdots & = \cdots & \cdots \\
f^{(n)}(z) & = w(w-1)\cdots(w-n+1)(1+z)^{w-n} & f^{(n)}(0)=\binom{w}{n} \\ \hline
\end{array}\]
portanto, o desenvolvimento de Taylor é
\begin{align}
(1+z)^w
& = 1 + w z + \frac{w(w-1)}{2!} z^2 + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{w}n z^n
\end{align}
se \(|z| < 1\), onde o número binomial é definido por:
\[\binom{w}{n} = \frac{w(w-1)\cdots(w-n+1)}{n!}\]
Exercícios propostos
- Calcular o raio de convergência de cada uma das séries abaixo:
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^n}{n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^n z^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n z^n}{2^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(z+i)^n}{(n+1)(n+2)}\)
- Para cada série abaixo, verificar se ela converge uniformemente e determinar o seu domínio de convergência.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{z^n}{3^n+1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(z-i)^{2n}}{n^2}\)
- Se \(|z| < 1\), derive ambos os membros da identidade
\[\dfrac{1}{1-z} \equiv 1 + z + z^2 + z^3 +\cdots\]
- Se \(|z| < 1\), determine a soma da série
\[\sum_{n=1}^{\infty} n z^n\]
- Demonstrar que vale o seguinte desenvolvimento em série de MacLaurin:
- \(\cos(z) = 1 - \dfrac{z^2}{2!} +\dfrac{z^{4}}{4!}-\dfrac{z^{6}}{6!} +\cdots+ (-1)^{k} \dfrac{z^{2k}}{(2k)!} + \cdots\)
- \(\text{sen}(z) = \dfrac{z}{1!}-\dfrac{z^3}{3!} +\dfrac{z^{5}}{5!}+\cdots+ (-1)^{k} \dfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} + \cdots\)
- Representar cada uma das funções seguintes em série de potências em torno do ponto \(p=0\):
- \(f(z) = \exp(-z) = e^{-z}\)
- \(f(z) = \dfrac{\text{sen}(z)}{1-z}\)
- \(f(z) = \dfrac{\cos(z)}{(1+z)^2}\)
- \(f(z) = \log(\dfrac{1+z}{1-z})\)