Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
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Séries de funções complexas
Sônia Ferreira Lopes Toffoli
Material desta página
1 Sequências de funções
Seja \(D\) um domínio complexo. Uma sequência de funções complexas é uma aplicação que a cada número natural \(n\), associa uma função \(f_n:D\to C\). Podemos representar uma sequência de funções complexas por \((f_n)_{n\in N}\) ou simplesmente \((f_n(z))\), onde \(f_n\) é o termo geral.
Diz-se que o limite de \(f_n=f_n(z)\) quando \(n\to\infty\) é igual a \(f=f(z)\) e escrevemos
\[\lim_{n\to\infty} f_n(z) = f(z)\]
se, para qualquer \(\varepsilon > 0\), existe um \(N=N(\varepsilon,z)\) tal que
\[|f_n(z)-f(z)| < \varepsilon\]
para todo \(n > N\).
Neste caso, diz-se que a sequência das funções \(f_n=f_n(z)\) é convergente para \(f=f(z)\) ou que converge para \(f=f(z)\).
Uma sequência converge em um valor \(p\in D\) se a sequência numérica \((f_n(p))\) é convergente.
Se uma sequência converge para todos os números complexos \(p\in D\), diz-se que a sequência converge em \(D\).
2 Séries de funções
Dada uma sequência de funções \((f_n(z))\), onde \(f_n:D \to C\) e consideremos uma nova sequência \((S_n(z))\) formada da seguinte maneira:
\begin{align} S_1(z) & = f_1(z) \\ S_2(z) & = f_1(z) + f_2(z) \\ S_3(z) & = f_1(z) + f_2(z) + f_3(z) \\ \cdots & = \cdots \\ S_n(z) & = f_1(z) + f_2(z) + f_3(z) + \cdots + f_n(z) \\ \end{align}
\(S_n=S_n(z)\) é a \(n\)-ésima soma parcial (ou reduzida de ordem n) da sequência \((f_n(z))\), que pode ser simbolizada por
\[S_n(z)= \sum_{k=1}^n f_k(z)\]
Uma série de funções é a soma infinita
\[\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z) = \lim_{n\to\infty} S_n(z)\]
Diz-se que a série de funções
\[\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\]
com \(f_n:D \to C\) é convergente em \(p\in D\), quando a sequência das suas reduzidas for convergente em \(p\).
Diz-se que a série de funções
\[\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\]
com \(f_n:D \to C\) é convergente em \(D\), quando ela é convergente em todos os pontos de \(D\).
Se a série
\[\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\]
é convergente em \(D\), a função \(f:D \to C\) definida por
\begin{align} f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z) & = \lim_{n\to\infty} S_n(z) \\ & = \lim_{n\to\infty} [f_1(z) + f_2(z) + f_3(z) +\cdots+ f_n(z)] \end{align}
é denominada a soma da série dada.
3 Alguns teoremas importantes
Enunciamos alguns teoremas importantes envolvendo sequências e séries numéricas reais, para referências.
- Unicidade do limite: Se uma sequência de números reais tem limite, este limite é único.
- Monotonicidade limitada: Toda sequência real monótona e limitada é convergente. Isto quer dizer que se a sequência \((a_n)\) é monótona crescente (\(a_{n}\leq a_{n+1}\)) ou monótona decrescente (\(a_n\geq a_{n+1}\)) e limitada (\(|a_n|< M\)) então ela é convergente.
- Critério de Cauchy: Uma condição necessária e suficiente para que \((u_n)\) seja convergente é que dado \(\varepsilon > 0\) arbitrário, existe um número \(N_0\) natural tal que \(|u_{p}-u_{q}|< \varepsilon\) para todos os \(p,q > N_0\).
- Uma condição necessária (mas não suficiente) para que \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) seja convergente é que \(\lim_{n\to\infty} u_n = 0\)
- A multiplicação de cada termo de uma série por uma constante não nula, não afeta a convergência ou divergência da série.
- O acréscimo ou remoção de um número finito de termos de uma série não afeta a convergência ou divergência da série.
- Uma condição necessária e suficiente para que uma série complexa \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n +ib_n)\) seja convergente, onde \((a_n)\) e \((b_n)\) são sequências reais, é que \(\lim_{n\to\infty}a_n\) e \(\lim_{n\to\infty}b_n\) sejam convergentes.
4 Convergência absoluta e condicional
Uma série \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\) é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, isto é, \(\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(z)|\) é convergente.
Uma série \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\) é condicionalmente convergente se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\) converge, mas a série dos módulos não converge,
5 Teoremas sobre convergência absoluta
- Se \(\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(z)|\) converge, então a série \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\) também converge. Em palavras, se uma série é absolutamente convergente, ela é convergente.
- Toda série obtida por rearranjos dos termos de uma série absolutamente convergente, também converge para a mesma soma.
- A soma, a diferença e o produto de séries absolutamente convergentes também são convergentes.
- As duas últimas informações nem sempre são válidas para séries condicionalmente convergentes.
6 Alguns testes para convergência
- Teste da comparação:
- Se \(\sum_{n=1}^{\infty} |v_n|\) converge e \(|u_n|\leq |v_n|\), para cada \(n\in N\), então \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) converge absolutamente.
- Se \(\sum_{n=1}^{\infty} |v_n|\) diverge e \(|u_n| \geq |v_n|\), para cada \(n\in N\), então \(\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) diverge, mas \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) pode ou não convergir.
- Teste da razão: Seja a série \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) e
\[L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\]
- A série converge absolutamente se \(L< 1\).
- A série diverge se \(L > 1\).
- A série pode convergir ou divergir, pois o teste falha se \(L=1\).
- Teste para séries alternadas: A série alternada \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n\) converge, se são satisfeitos os ítens seguintes:
- \(u_n \geq 0\).
- Para todo \(n\in N\) tem-se que \(u_{n+1}\leq u_n\).
- \(\lim_{n\to\infty} u_n=0\).
7 Convergência uniforme de série de funções
Na definição de limite de uma sequência foi dito que o número \(N_0\), em geral depende de \(\varepsilon\) e de \(z\). Se ocorrer que para um valor de \(N_0\), \(|f_n(z)-f(z)|< \varepsilon\) para todo \(n > N_0\), e este número \(N_0\) só depende de \(\varepsilon\) dado e não depende de um valor particular de \(z\) na região, dizemos que, neste caso \(f_n\) converge uniformemente ou é uniformemente convergente em \(D\).
A série denotada por
\[f(z)= \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\]
é uniformemente convergente em um domínio \(D\), se dado \(\varepsilon > 0\), existe um número natural \(N_0=N_0(\varepsilon)\) (depende apenas de \(\varepsilon\)) tal que para todo \(n > N_0\) se tem que
\[|f_n(z)-f(z)|< \varepsilon\]
8 Teoremas sobre convergência uniforme
- Critério de Cauchy: Uma condição necessária e suficiente para que a série
\[f(z)= \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)\]
seja uniformemente convergente em \(D\) é que, dado qualquer \(\varepsilon > 0\), existe \(N_0\) natural tal que
\[|S_{n+p}-S_n| = |f_{n+1}(z)+f_{n+2}(z)+\cdots+f_{n+p}(z)| \leq \varepsilon\]
para todo \(n > N_0\), \(p\geq 1\), qualquer que seja \(z\in D\).
- Critério de Weierstrass: Seja \(\sum M_n\) uma série convergente de números reais positivos. Se \(\sum f_n(z)\) for uma série de funções \(f_n:D\to C\), tal que para todo \(z\in D\), se tem que
\[|f_n(z)| < M_n\]
exceto possivelmente para um número finito de valores de \(n\), então \(\sum f_n(z)\) converge uniformemente em D.
Nota: Usamos o critério de Weierstrass para mostrar que a série
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n\sqrt{n+1}}\]
é uniformemente convergente no círculo \(|z|\leq 1\).
Se \(f_n(z) = \dfrac{z^n}{n\sqrt{n+1}}\) e \(|z|\leq 1\), segue que
\[|f_n(z)| = |\frac{z^n}{n\sqrt{n+1}}| \leq \frac{1}{n\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n^{3/2}}\]
Se \(M_n=1/n^{3/2}\), então \(\sum M_n\) converge (série-\(p\), com \(p=3/2\)). Assim, pelo critério de Weierstrass a série dada converge uniformemente e absolutamente sobre \(|z|\leq 1\).
Exemplos:
- Seja \(f(z)=\sum_{n-1}^{\infty} f_n(z)\) uma série de funções contínuas, uniformemente convergente sobre um conjunto \(D\). Então:
- \(f\) é contínua sobre \(D\).
- A soma \(f\) da série é integrável sobre um contorno \(C\) valendo a igualdade
\[\int_C f(z)dz = \int_C \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \int_C f_n(z)\]
- Se a convergência é uniforme numa região simplesmente conexa \(D\), onde as funções \(f_n\) são analíticas, então \(f\) é também analítica em \(D\) e suas derivadas são obtidas derivando a série termo a termo, valendo a igualdade
\[\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dz}f_n(z)\]