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Uma curva orientada (ou arco orientado) no plano complexo é um conjunto \(K\) de pontos descrito na forma:
em que \(z(t)=x(t)+iy(t)\) é uma função complexa com variável real \(t\).
Exemplo: A função \(z(t)=1+2it\) definida para \(-1\leq t\leq 1\) representa um segmento de reta ligando os pontos \(z_0=1-2i\) a \(z_1=1+2i\) no plano complexo.
Exemplo: A função complexa \(z(t)=t+it^2\) definida para \(-2\leq t\leq 2\) é uma parábola orientada da esquerda para a direita.
Quando uma curva \(K\) é representada por \(z(t)=x(t)+iy(t)\) com \(x=x(t)\), \(y=y(t)\) e \(a \leq t\leq b\), a variável \(t\) recebe o nome de parâmetro e a função complexa de variável real \(z=z(t)\) é uma parametrização (representação paramétrica) do arco (ou curva). Os pontos da curva \(K\) são orientados de acordo com os valores crescentes do parâmetro \(t\). O sentido positivo da curva \(K\) é aquele dado quando se faz \(t\) crescer.
Uma função complexa \(z(t)=x(t)+iy(t)\) do parâmetro \(t\in [a,b]\) é contínua em \(t=t_0\) se, e somente se, a sua parte real \(x=x(t)\) e a sua parte imaginária \(y=y(t)\) são funções contínuas reais em \(t=t_0\). Se \(z=z(t)\) é contínua para todo \(t\in [a,b]\), diz-se que \(z=z(t)\) é uma curva contínua sobre o intervalo \([a,b]\).
Na sequência, apresentamos características geométricas e analíticas de algumas curvas e regiões no plano complexo.
Uma curva de Jordan no plano complexo é uma curva em que cada ponto \(z=z(t)\) é imagem de um único valor de \(t\in [a,b]\), razão pela qual, cada ponto da curva recebe o nome de ponto simples. Esta curva também recebe o nome de curva simples ou arco simples.
Exemplo: A função complexa \(z(t)=t^3+it\) definida sobre \([-1,1]\) é uma curva cúbica orientada da esquerda para a direita.
Esta curva é percorrida uma única vez quando \(t\) percorre o intervalo \([a,b]\). A função \(z=z(t)\) é injetiva e desse modo, valores distintos de \(t\) correspondem a pontos distintos da curva \(z=z(t)\).
Uma curva parametrizada \(z=z(t)\) é fechada se para \(a\leq t\leq b\), tem-se que \(z(a)=z(b)\), isto é, as extremidades coincidem.
Um ponto múltiplo de uma curva parametrizada por \(z=z(t)\) com \(a\leq t\leq b\), é obtido como a imagem de dois ou mais valores distintos de t, isto é, existem pelo menos dois valores distintos \(t_1\in [a,b]\) e \(t_2\in [a,b]\) tal que \(z(t_1)=z(t_2)\).
Nota: No ponto múltiplo ocorre a auto-interseção da curva. Se um ponto não é múltiplo, ele recebe o nome de ponto simples. Se uma curva parametrizada \(z=z(t)\) com \(a\leq t\leq b\) não é uma curva simples, ela contém pelo menos um ponto múltiplo.
Exemplo: A função \(z(t)=(t^3-12t)+t^2i\) definida para \(-4\leq t\leq 4\) é uma curva (à esquerda) contendo um ponto múltiplo.
A curva fechada (à direita) com ponto múltiplo é o Limaçon de Pascal.
Uma curva fechada simples é aquela em que todos os pontos são pontos simples, exceto as extremidades.
Exemplo: A circunferência com raio \(2\), centrada na origem, tem equação
definida para \(0\leq t < 2\pi\) é uma curva fechada simples.
Exemplo: A cardióide parametrizada por
definida para \(0\leq t < 2\pi\) é um curva fechada simples.
Como já definimos antes, uma curva fechada simples também recebe o nome de curva de Jordan.
Curva regular é uma curva parametrizada por \(z(t)=x(t)+iy(t)\) com \(a\leq t\leq b\) que possui derivada \(z'(t)=x'(t)+iy'(t)\) e esta derivada é uma função contínua tal que \(z'(t) \neq 0\) para todo \(t\in [a,b]\).
Exemplo: Uma parametrização para o segmento \(AB\) pode ser construída por
onde \(0\leq t\leq 1\).
Exemplo: O segmento de reta definido por \(z(t)=t+i\) para \(t\in [1,3]\) é uma curva regular pois a sua derivada \(z'(t)=1+0i\) é uma função contínua não nula.
Exemplo: O segmento de reta definido por \(z(t)=-2+ti\) para \(t\in [-2,2]\) é uma curva regular pois sua derivada \(z'(t)=0+1i\) é uma função contínua e diferente de zero.
Contorno (ou caminho) é uma curva que consiste na reunião de um número finito de curvas regulares. A palavra contorno é muito usada, pois é comum uma curva envolver (contornar) uma região do plano complexo.
Toda curva fechada simples \(K\) decompõe o plano cartesiano em duas regiões tendo \(K\) como fronteira, uma região limitada denominada o interior da curva \(K\) e outra região não limitada, denominada o exterior da curva \(K\).
Este resultado é fácil de ser visualizado, mas a demonstração não é simples.
Uma região \(R\) é simplesmente conexa quando toda curva de Jordan contida em \(R\) possui em seu interior somente pontos de \(R\) (figura à esquerda). Do ponto de vista geométrico, uma região simplesmente conexa é a que não possui buracos. Uma região que não é simplesmente conexa é denominada multiplamente conexa (figura à direita).
