Função Polinomial

Toda função polinomial de grau n inN da forma

p(z) = a0 + a1 z + a2 z² +...+ an zn

é uma função analítica em C, pois cada zk com k=1,2,...,n é uma função analítica, as constantes são funções analíticas, o produto e a soma de funções analíticas é uma função anaítica.

Funções racionais

Sejam duas funções polinomiais p=p(z) e q=q(z). Uma função racional é definida como

R(z)= p(z)
q(z)

com z inC tal que q(z) neq0. R(z) é analítica e sua derivada é dada pela regra de derivada do quociente de funções.

Função exponencial

A função exponencial de um número complexo z=x+iy é definida por

ez = e x+iy = ex[cos(y)+isen(y)] = ex cos(y) + i ex sen(y)

As partes real e imaginária de ez, são dadas por u(x,y)=excos(y) e v(x,y)=exsen(y), respectivamente. Estas funções reais, satisfazem às Equações de Cauchy-Riemann, isto é:

ux(x,y) = ex cos(y) = vy(x,y)
uy(x,y) = −ex sen(y) = −vx(x,y)

Como as derivadas acima são contínuas, a função exponencial assim definida, é analítica para todo z em C e a sua derivada é dada por

d
dz
(ez)=ez

A função exponencial também é usualmente denotada por ez=exp(z)

Algumas propriedades da função exponencial

  1. eiy = cos(y) + isen(y)

  2. −z=1/ez

  3. ez = ex . eiy

  4. ezp = epz

  5. ez . ew = e z+w

  6. |ez| = e Re(z)

Funções trigonométricas e hiperbólicas

Com a definição de função exponencial ez=ex[cos(y)+isen(y)] obtemos para x=0:

eiy = cos(y) + i sen(y)     e    e −iy = cos(y) − isen(y)

Obtendo cos(y) e sen(y) nas equações acima, teremos:

cos(y) = eiy+e −iy
2
   e    sen(y)= eiy−e −iy
2i

Estas fórmulas são válidas para todo y inR, estendendo estas definições para todo z inC, teremos

cos(z)= eiz+e −iz
2
   e    sen(z)= eiz−e −iz
2i

As funções seno e cosseno são analíticas em todo o plano complexo.

As outras funções trigonométricas são definidadas como segue:

tan(z)= sen(z)
cos(z)
 ,    cot(z)= cos(z)
sen(z)
 ,    sec(z)= 1
cos(z)
 ,    csc(z)= 1
sen(z)

As funções tangente e secante possuem singularidades quando cos(z)=0, e as funções cotangente e cossecante possuem singularidades nos pontos onde sen(z)=0 nos outros valores do plano complexo estas funções são analíticas.

As derivadas das funções trigonométricas são definidas por:

Dz[sen(z)] = cosh(z) Dz[cot(z)] = −csc²(z)
Dz[cos(z)] = −sen(z) Dz[sec(z)] = tan(z) sec(z)
Dz[tan(z)] = sec²(z) Dz[csc(z)] = −cot(z) csc(z)

As identidades trigonométricas familiares ainda permanecem válidas no plano complexo, sendo assim:

  1. sen(−z) ≡ −sen(z)

  2. cos(−z) ≡ cos(z)

  3. sen²(z) + cos²(z) ≡ 1

  4. sen(z+w) ≡ sen(z) cos(w) + cos(z) sen(w)

  5. cos(z+w) ≡ cos(z) cos(w) − sen(z) sen(w)

Funções hiperbólicas

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico são, respectivamente, definidas por:

cosh(z) = ez+e −z
2
    e    sinh(z) = ez−e −z
2

Como as funções f(z)=ez e f(z)=e −z são analíticas em todo o conjunto C, as funções trigonométricas hiperbólicas também são.

Quando z é um número real, isto é y=0, estas funções trigonométricas hiperbólicas complexas coincidem com as funções trigonométricas hiperbólicas reais de mesmo nome.

As outras funções trigonométricas hiperbólicas são definidas de maneira análoga ao caso real

tanh(z) = sinh(z)/cosh(z) coth(z) = cosh(z)/sinh(z)
sech(z) = 1/cosh(z) csch(z) = 1/sinh(z)

As funções tangete hiperbólica e secante hiperbólica possuem singularidades nos valores onde cosh(z)=0, e as funções cotangente hiperbólico e cossecante hiperbólico possuem singularidades nos valores onde sinh(z)=0 nos outros valores do plano complexo estas funções são analíticas.

As derivadas das funções hiperbólicas são definidas por

Dz[sinh(z)] = cosh(z) Dz[coth(z)] = −csch²(z)
Dz[cosh(z)] = sinh(z) Dz[sech(z)] = −tanh(z) sech(z)
Dz[tanh(z)] = sech²(z) Dz[csch(z)] = −coth(z) csch(z)

Algumas identidades válidas para as funções hiperbólicas são:

  1. sinh(−z) ≡ −sinh(z)

  2. cosh(−z) ≡ cosh(z)

  3. cosh²(z)−sinh²(z) ≡ 1

  4. coth²(z)−csch²(z) ≡ 1

  5. sinh(z+w) ≡ sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w)

  6. cosh(z+w) ≡ cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w)

  7. sinh(iz) ≡ i sen(z)

  8. cosh(iz) ≡ cos(z)

Funções uniformes e multiformes

Uma função w=f(z) é uniforme ou unívoca se a cada valor de z, corresponde um único valor de w.

Funções plurívocas, multiformes ou multivalentes são funções que, para um valor dado da variável z, associam dois ou mais números w=f(z) distintos.

Estas funções podem ser consideradas como formadas por ramos, cada um dos quais é uma função unívoca do número z.

Exemplos importantes de função multiforme são as funções logarítmicas e as funções com expoente fracionário da forma f(z)=z 1/n.

Função raiz n-ésima: Considere a função f(z)=z 1/n, segundo a fórmula das raízes, podemos notar que f pode ser subdividida em n ramos

wk = r 1/n (cos t+2kpi
n
+ i sen t+2kpi
n
)

onde r=|z| e t=arg(z)

Ramo Expressão
principal f1(z)=w0 = r 1/n [cos(t/n) + i sen(t/n)]
segundo f2(z)=w1 = r 1/n [cos((t+2pi)/n)+i sen((t+2pi)/n)]
terceiro f3(z)=w2 = r 1/n[cos((t+4pi)/n) + i sen((t+4pi)/n)]
n−ésimo fn(z)=wn−1 = r 1/n [cos((t+2pi(n−1))/n) + i sen((t+2pi(n−1)/n))]

Isto significa que para um mesmo valor de z teremos n funções f1, f2,...,fn distintas e além disso, para qualquer z a equação [fi(z)] n=[win=z, i=1,2,...,n, é satisfeita sendo cada uma delas tratadas como ramos de uma só função f(z)=zn.

Cada um destes ramos possui uma descontinuidade ao longo do semi eixo real negativo incluindo a origem z=0, para exemplificar, tomamos dois pontos distintos no plano z, z1=−1+id e z2=−1−id, onde d é um número positivo arbitrariamente pequeno. Estes pontos estão próximos um do outro no plano complexo z, mas, aplicando estes valores ao ramo principal, com r=|z|=(1+d²)(1/2), t1=pi−d e t2=−pi+d teremos:

f1(z1) = r 1/n [cos((pi−d)/n) + i sen((pi−d)/n)]
f1(z2) = r 1/n [cos((−pi+d)/n) + i sen((−pi+d)/n)]

que são pontos no plano w distantes entre si.

Para a função f(z)=z 1/2, segundo a fórmula das raízes, produzimos 2 raízes distintas do número complexo z, para k=0.

f1(z1) = r 1/2 [cos((pi−d)/2) + i sen((pi−d)/2)]
f1(z2) = r 1/2 [cos((−pi+d)/2) + i sen((−pi+d)/2)]

Uma situação gráfica de pontos nos planos z e w:

fig

Função logaritmo natural: Dada a função exponencial complexa w=exp(z)=ez, definimos a função logaritmo natural de z como a função inversa da exponencial. A função inversa w=log(z) pode ser obtida trocando-se z por w na função exponencial e explicitando w em função de z, o que conseguimos com:

w = log(z) = log|z| + i t

Esta função logaritmo natural complexa é muito diferente da função logaritmo natural real pois, podemos obter o logaritmo natural complexo de um número negativo mas não podemos obter o logaritmo natural real de um número negativo.

Como exemplo, seja z=−e=−2,718281828... Neste caso, o argumento de z é dado por t=pie assim:

w = log(−e) = log|e| + ipi= 1 + ipi

Da mesma forma que no caso real, o número complexo z=0 não possui logaritmo natural, pois não existe um número w inC tal que ew =0.

Para cada z fixo em C, a equação ew=z possui uma infinidade de soluções. Se t0 representa o menor valor do argumento de z no intervalo (0,2pi], o número complexo

vp(log(z)) = log|z| + i t0

é denominado o valor principal do log(z). Quando z é um número real positivo, o argumento de z é nulo e o valor principal de log(z) coincide com o logarítmo natural real de z. Se k é um número inteiro, O argumento genérico de z é dado por:

t = t0 + 2kpi

Para que a associação z tolog(z) seja uma função, necessitamos que ela seja uma correspondência unívoca, isto quer dizer que cada valor z do domínio deve corresponder um único valor w=log(z) na imagem.

Para evitar confusões na definição do logaritmo, restringiremos o argumento de z a um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de comprimento 2pi, do tipo

(2k−1)pi< t<(2k+1)pi

para algum k inteiro. Assim, para trabalhar com a função logaritmo, devemos escolher um número inteiro k e exigir que

(2k−1)pi< t<(2k+1)pi

Exemplo: Para k=0, segue que −pi< t <pie a associação z tolog(z) representa uma função.

Cada valor de k inZ conduz ao que denominamos ramo da função logaritmo, definida por log(z)=log|z|+i(t0+2kpi). Quando k=0, o ramo obtido é o valor principal do logaritmo.

Superfícies de Riemann

G. F. Bernhard Riemann idealizou uma superfície formada por uma infinidade de planos, na verdade superfícies helicoidais quase planas que reunidas formam uma superfície semelhante a uma escada helicoidal suave que vemos nas casas. Estes planos são convenientemente superpostos, de modo que, quando z pertence a esta superfície, a correspondência z tolog(z) é unívoca, sem a necessidade de fixar o valor de k inZ.

Faremos agora uma descrição intuitiva desta idéia. Consideremos a corresponência

w=log(z)=log|z|+ i t0

onde t0=arg(z). Tomaremos w=u+iv para escrever

u=log|z|      e      v=t0

Vamos considerar o plano complexo C excluindo a semi-reta Sr que contém a origem e todos os números complexos z cuja parte real é negativa, isto é, Sr={ z=x+iy: x<0 e y=0 }.

O domínio da função w=log(z) será a região aberta e conexa:

D0={z inC: 0<|z|<∞, −pi<t0 <pi}

A figura a seguir ilustra o domínio D0 de w=log(z)

fig

Este domínio D0 é transformado por u=log|z| e v=t0 na faixa no plano uv dos w, definida por

F0 = { (u,v): −∞ < u < ∞, −pi< v <pi}

A figura abaixo ilustra a faixa F0 representada pela imagem da aplicação w=log(z)

fig

Como a associação w=log(z) de D0 em F0 é unívoca, temos que ela é uma função.

Consideremos agora o domínio

D1 = { z inC: 0<|z| < ∞ e pi< t0 < 3pi}

Este domínio D1 é transformado por u=log|z| e v=t0 na faixa no plano uv dos w, definida por

F1 = { (u,v): −∞ <u <∞ e pi<v < 3pi}

Como a associação de D1 em F1 definida por w=log(z) é unívoca, temos que ela representa uma função.

De um modo geral, para cada k inZ, consideremos o domínio

Dk={z inC: 0<|z|<∞, (2k−1)pi<t0<(2k+1)pi}

Este domínio Dk é transformado por u=log|z| e v=t0 na faixa do plano dos w, definida por

Fk = { (u,v): −∞<u<∞, (2k−1)pi<v<(2k+1)pi}

Observamos que, as faixas Fk são disjuntas no plano dos w, enquanto os domínios Dk são cópias iguais do plano D0. Podemos imaginar os domínios Dk como planos distintos superpostos como uma pilha de folhas de papel.

A superfície assim obtida é denominada Superfície de Riemann.

A correspondência w=log(z), (z inS) é unívoca, logo esta será denominada a função logarítmica. Quando k=0, w=log(z) em D0, é denominada ramo principal do logaritmo. Desse modo

w = log|z|+ i t0, −pi<t0<pi

A superfície de Riemann, w=log(z):

fig

A função logaritmo natural é analítica em todo o plano complexo e a sua derivada é dada por

d
dz
log(z) = 1
z

Propriedades da função logarítmica natural complexa

  1. As funções logaritmo natural complexo e exponencial complexa, são inversas uma da outra, isto é, para z neq0, segue que z=ew se, e somente se, w=log(z).

  2. exp(log(z)) = z, para Im(z)neq0

  3. log(exp(z)) = z

  4. log(z.w) = log(z) + log(w)

  5. log(zn) = n log(z)

Exercícios

  1. Mostre que as funções abaixo são contínuas em todos os pontos do plano complexo, mas não são analíticas em ponto algum do plano complexo.

    a) f(z)=5x−iy. b) f(z)=x²+x²y−i(y²x+y³). c) f(z)=cos(7x)+isen(7y)

  2. Mostre que a função f(z)=x²y+ixy² é derivável mas não é analítica em z=0.

  3. Determine o domínio em que a função f(z)=(z−a)²/(z+a)² é analítica.

  4. Dada a função f(z)=(ey+e −y)cos(x)−i(ey−e −y)sen(x), pede-se:

    1. Mostre que f(z) é uma função inteira.

    2. Mostre que f(z²) é uma função inteira.

  5. Determine se a função definida por f(z)=(2+5z)/(i−3z) é analítica no disco aberto D:|z|<1.

    Solução: Tanto o numerador como o denominador de f são funções polinomiais e portanto funções inteiras, f é analítica em todos os pontos do plano complexo exeto em z=i/3, como este ponto pertence ao interior do disco aberto |z|<1, esta função não é analítica em D.

  6. Determine se a função definida por f(z)=sen(x) é analítica no disco aberto |z|<1.

    Solução: A função f(z)=sen(z) está definida para todos os valores do plano complexo. Fazendo f(z)=u+iv, temos que u=sen(x) e v=0, assim, ux=cos(x), uy=0, vx=0 e vy=0. As equações de Cauchy Riemann são verificadas apenas nos valores em que cos(x)=0, isto é x=k/2, k=1,2,3... que são pontos isolados do domínio da função, o que resulta que esta função não é analítica em nenhum ponto.

  7. Determine se a função definida por f(z)=e −y(cos(x)+isen(x)) é analítica no plano complexo.

    Solução: Como f(z)=u+iv=e −y(cos(x)+isen(x)),temos que u=e −ycos(x) e v=e −ysen(x), assim ux=−e −ysen(x), uy=−e −ycos(x), vx=e −ycos(x) e vy=−e −ysen(x) e portanto as equações de Cauchy Riemann são sempre satisfeitas e esta função é analítica em todo o palno complexo.

  8. Sejam P(z) e Q(z) polinômios, determine se as funções f(z)=P(z)/Q(z) e g(z)=P(z).Q(z)/z são analíticas no conjunto 0<|z|<1.

Construída por Sônia Ferreira Lopes Toffoli.