Função contínua em um ponto do plano complexo

Seja f:D toC e w um ponto de acumulação de DinC. Uma função f é contínua em z0, se o limite de f no ponto w for igual a f(w), isto é:

 
lim
z tow
f(z) = f(w)

Três condições estão estabelecidas nesta definição:

  1. f=f(z) deve estar definida em w

  2. limz tow  f(z) deve existir

  3. limz tow  f(z) = f(w)

Descontinuidade removível e essencial

Se a função f não é contínua em um ponto w mas limz tow f(z) existe, a descontinuidade é dita removível. Neste caso podemos obter uma função F contínua em z0, definindo F de modo que sejam satisfeitas as três condições da definição.

Quando a função não é contínua prque o limite da função em um dado ponto não existe, a descontinuidade neste ponto é dita essencial.

Exemplos:

  1. A função f(z)=(z²+1)/(z−i) possui uma descontinuidade removível em z0=i pois

     
    lim
    z toi
    z²+1
    z−i
    = 2i

    mas a função não está definida para z=i. Neste caso, definimos uma nova função F tal que F(z)=f(z) para z neqi e F(i)=2i

    Esta nova função F é contínua em todos os pontos do plano complexo.

  2. Para a função definida em todo o plano complexo por: f(z)=z se z neq0 e f(0)=1.

    z=0 é uma descontinuidade removível, pois limz to0 f(z)=0 mas f(0)=1. A função F definida por F(z)=z para todo z inC é contínua em zero.

  3. A função definida por f(z)=z/|z| possui uma descontinuidade essencial em z=0 porque o limite quando z to0 não existe.

Função contínua em uma região do plano complexo

Uma função f é contínua numa região D do plano complexo se, f é contínua em todos os pontos da região D.

Composição de funções no plano complexo

Sejam f: D toE e g: E toC funções complexas, sendo D e E subconjuntos de C. A função h:D toC definida por h(z)=g(f(z)) é denominada a função composta das funções f e g na ordem que foram apresentadas. Esta composição é denotada por h=gof.

Teoremas sobre a continuidade de funções complexas

  1. Se f e g são funções contínuas em z0 inD, então as funções f+g, f−g e f.g são contínuas em z0. Quando f/g estiver definida em z0, esta função também será contínua em z0.

  2. Se f: D toE é uma função contínua em z0 inD e g: E toC é uma função contínua em f(z0) inE, então a função composta h=gof será contínua em z0.

  3. Se a função f é contínua numa região D, então a parte real de f e a parte imaginária de f, são funções contínuas nesta região D.

Exercícios

  1. Dada a função f definida por f(z)=(z²+4)/(z−2i) se z neq2i e f(2i)=3+4i.

    1. Provar que quando z to2i, o limite lim f(z) existe e calcular o valor deste limite.

    2. É verdade que f é contínua em z=2i?

    3. Mostrar que f é contínua nos pontos onde z neq2i.

  2. Determinar todos os pontos de descontinuidade para cada uma das funções abaixo:

    1. f(z)=(2z−3)/(z²+2z+2)

    2. f(z)=(z²+4)/(z 4−16)

    3. f(z)=(z²+1)/(z²−3z+2)

  3. Redefinir as funções dadas abaixo de modo que elas sejam contínuas em z=a.

    1. f(z)=(z−a)/(z−a)

    2. f(z)=(z³−a³)/(z−a)

    3. f(z)=(z −2−a −2)/(z−a)

Construída por Sônia Ferreira Lopes Toffoli.