Seja f:D C e w um ponto de acumulação de DC. Uma função f é contínua em z0, se o limite de f no ponto w for igual a f(w), isto é:
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f(z) = f(w) |
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Três condições estão estabelecidas nesta definição:
f=f(z) deve estar definida em w
limz w f(z) deve existir
limz w f(z) = f(w)
Se a função f não é contínua em um ponto w mas limz w f(z) existe, a descontinuidade é dita removível. Neste caso podemos obter uma função F contínua em z0, definindo F de modo que sejam satisfeitas as três condições da definição.
Quando a função não é contínua prque o limite da função em um dado ponto não existe, a descontinuidade neste ponto é dita essencial.
Exemplos:
A função f(z)=(z²+1)/(z−i) possui uma descontinuidade removível em z0=i pois
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= 2i |
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mas a função não está definida para z=i. Neste caso, definimos uma nova função F tal que F(z)=f(z) para z i e F(i)=2i
Esta nova função F é contínua em todos os pontos do plano complexo.
Para a função definida em todo o plano complexo por: f(z)=z se z 0 e f(0)=1.
z=0 é uma descontinuidade removível, pois limz 0 f(z)=0 mas f(0)=1. A função F definida por F(z)=z para todo z C é contínua em zero.
A função definida por f(z)=z/|z| possui uma descontinuidade essencial em z=0 porque o limite quando z 0 não existe.
Uma função f é contínua numa região D do plano complexo se, f é contínua em todos os pontos da região D.
Sejam f: D E e g: E C funções complexas, sendo D e E subconjuntos de C. A função h:D C definida por h(z)=g(f(z)) é denominada a função composta das funções f e g na ordem que foram apresentadas. Esta composição é denotada por h=gof.
Se f e g são funções contínuas em z0 D, então as funções f+g, f−g e f.g são contínuas em z0. Quando f/g estiver definida em z0, esta função também será contínua em z0.
Se f: D E é uma função contínua em z0 D e g: E C é uma função contínua em f(z0) E, então a função composta h=gof será contínua em z0.
Se a função f é contínua numa região D, então a parte real de f e a parte imaginária de f, são funções contínuas nesta região D.
Dada a função f definida por f(z)=(z²+4)/(z−2i) se z 2i e f(2i)=3+4i.
Provar que quando z 2i, o limite lim f(z) existe e calcular o valor deste limite.
É verdade que f é contínua em z=2i?
Mostrar que f é contínua nos pontos onde z 2i.
Determinar todos os pontos de descontinuidade para cada uma das funções abaixo:
f(z)=(2z−3)/(z²+2z+2)
f(z)=(z²+4)/(z 4−16)
f(z)=(z²+1)/(z²−3z+2)
Redefinir as funções dadas abaixo de modo que elas sejam contínuas em z=a.
f(z)=(z−a)/(z−a)
f(z)=(z³−a³)/(z−a)
f(z)=(z −2−a −2)/(z−a)