Matemática Essencial

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Limites de funções complexas
Sônia Ferreira Lopes Toffoli

Material desta página

1 Limite de uma função complexa

Seja \(z_0\) um ponto de acumulação de um subconjunto \(D\) de \(C\) e \(f:D\to C\) uma função complexa. O número complexo \(L\) é o limite de \(f\) quando \(z\) tende a \(z_0\) se, para cada \(\varepsilon > 0\), existe um número \(\delta > 0\) sendo \(\delta=\delta(\varepsilon,z_0)\) tal que se \(z\in D\) com \(0 < |z-z_0| < \delta\), então

\[|f(z)-L| < \varepsilon\]

Denotamos este fato por

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = L\]

Em palavras, a definição acima afirma que, uma função \(f=f(z)\) tem limite \(L\) quando \(z\) está se aproximando arbitrariamente de \(z_0\), se a distância entre \(f(z)\) e \(L\) pode ser tomada arbitrariamente pequena desde que \(z\) esteja suficientemente próximo de \(z_0\).

Na definição acima não se exige que a função esteja definida no ponto \(z=z_0\) para que exista o limite

\[\lim_{z \to z_0} f(z) = L\]

A noção de limite de uma função em um ponto \(z_0\) diz respeito ao comportamento da função na proximidades de \(z_0\) e não necessariamente no próprio \(z_0\).

Exemplos:

  1. Seja \(f(z)=4z-2\). Com a definição de limite, podemos mostrar que:
    \[\lim_{z \to 1} f(z) = L = \lim_{z \to 1} (4z-2) = 2\]
    Tomando \(\varepsilon > 0\), é possível construir \(\delta=\frac14 \varepsilon > \) tal que se \(0 < |z-1| < \delta\), então
    \[|(4z-2)-2| < \varepsilon\]
    Realmente,
    \begin{align} |f(z)-2| & = |(4z-2)-2| \\ & =|4z-4| = 4|z-1| \\ & < 4\delta = \varepsilon \end{align}
  2. Para provar que quando \(z\to 3\) tem-se que \(\lim z^2=9\) usando a definição de limite, devemos mostrar que, dado \(\varepsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\), tal que se \(0 < |z-3| < \delta\), então:
    \[|z^2-9| < \varepsilon\]
    Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo \(\varepsilon\). Assim:
    \[|z^2-9| = |(z-3)(z+3)| < \varepsilon\]
    Como esperamos que \(\delta\) seja arbitráriamente pequeno, podemos supor \(0 < \delta \leq 1\) e assim escrever
    \[0 < |z-3| < \delta \leq 1\]
    Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, temos que
    \begin{align} |z+3| & = |(z-3)+6| \\ & \leq |(z-3)|+6 \\ & \leq 1 + 6 = 7 \end{align}
    o que implica
    \[|(z-3)(z+3)| < 7\delta\]
    Escolhendo \(\delta=\min(1,\varepsilon/7)\), obtemos para \(0 < |z-3| < \delta\) que
    \[|z^2-9| < \varepsilon\]
    ou seja
    \[\lim_{z \to 3} z^2 = 9\]
  3. Quando \(z \to i\) observamos que o limite \(\lim z^2=-1\), e isto significa que quando \(z\) está muito próximo de \(i\), os valores de \(f(z)\) estão muito próximos de \(-1\). Suspeitamos então que
    \[\lim_{z \to 1} f(z) = -1\]
    Para provar isto, devemos mostrar que, dado \(\varepsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\), tal que se \(0 < |z-i| < \delta\), então:
    \[|z^2-(-1)| < \varepsilon\]
    Vamos trabalhar de trás para a frente e considerar que esta última desiqualdade seja verdadeira, realizando uma análise envolvendo \(\varepsilon\). Assim:
    \[|z^2-(-1)| = |(z-i)(z+i)| < \varepsilon\]
    Como esperamos que \(\delta\) seja arbitrariamente pequeno, supomos \(0 < \delta\leq 1\) e assim podemos escrever
    \[0 < |z-i| < \delta \leq 1\]
    Pela desigualdade triangular e pela desigualdade acima, obtemos
    \begin{align} |z+i| & = |(z-i)+2i| \\ & \leq |(z-i)|+2 \\ & \leq 1+2 = 3 \end{align}
    o que implica
    \[|(z-i)(z+i)| < 3\delta\]
    Escolhendo \(\delta=\min(1,\varepsilon/3)\), obtemos para \(0 < |z-i| < \delta\) tal que
    \[|z^2+1| < \varepsilon\]
    ou seja
    \[\lim_{z \to i} f(z) = \lim_{z \to i} z^2 = -1\]
  4. A função \(f(z)=(z^2+1)/(z-i)\) está definida para \(z \neq i\), mas
    \[\lim_{z \to i} \frac{z^2+1}{z-i} = 2i\]
    Como para \(z \neq i\) temos
    \[f(z) = \frac{z^2+1}{z-1} = \frac{(z+i)(z-i)}{z-i} = z+i\]
    e \(|f(z)-2i|=|z+i-2i|=|z-i|\), então para todo \(\varepsilon > 0\), obtemos que \(0 < |z-i| < \delta\) implica que
    \[|f(z)-2i| = |z-i| < \varepsilon\]
    bastando tomar \(\delta=\varepsilon\).

2 Função limitada no plano complexo

Uma função \(f:D\to C\) é limitada, se o conjunto imagem \(f(D)\) é limitado. Dizemos que \(f\) é limitada nas vizinhanças de \(z_0\), se existe um disco aberto ou fechado centrado em \(f(z_0)\), contendo todos os pontos próximos a \(f(z_0)\).

3 A relação entre função limitada e limite da função

Nem toda função limitada sobre um conjunto possui limite em pontos deste conjunto.

Exemplo: Mostramos no exemplo seguinte, que a função

\[f(z)=\frac{\text{Im}(z^2)}{|z^2|}\]

definida para \(z \neq 0\), não possui limite quando \(z\to 0\) mas é claro que é limitada pois \(0 < f(z)\leq 1\).

4 Limites no infinito e limites infinitos

Seja \(f:D\to C\). Afirmamos que

  1. \(f=f(z)\) tem limite finito \(L\) quando \(z\to\infty\) se, dado qualquer \(\varepsilon > 0\), existe um \(M > 0\) tal que \(|f(z)-L| < \varepsilon\) se \(|z| > M\).
  2. \(f=f(z)\) tende a \(\infty\) quando \(z \to z_0\) se, dado qualquer \(N > 0\), existe um \(\varepsilon > 0\) tal que \(|f(z)| > N\) se \(|z-z_0| < \delta\).
  3. \(f=f(z)\) tende a \(\infty\) quando \(z \to \infty\) se, dado qualquer \(N > 0\), existe \(M > 0\) tal que \(|f(z)| > N\) e \(|z| > M\).

5 Unicidade do limite de uma função complexa

Se o limite \(\lim f(z)\) existe quando \(z \to z_0\), ele deve ser único.

Demonstração: Vamos mostrar que quando \(z \to z_0\), quando \(\lim f(z)=A\) e \(\lim f(z)=B\) então \(A=B\).

Pela definição de limite, dado \(\varepsilon > 0\), devemos obter \(\delta > 0\) tal que se \(|z-z_0| < \delta\) então

\[|f(z)-A| < \varepsilon/2 \quad\text{e}\quad |f(z)-B| < \varepsilon/2\]

Assim

\begin{align} |A-B| & =|A-f(z)+f(z)-B| \\ & \leq |A-f(z)|+|f(z)-B| \\ & \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \end{align}

Assim, \(|A-B|\) é menor que qualquer \(\varepsilon > 0\) suficientemente pequeno, logo, ele deve ser zero. Segue que \(A=B\).

6 Teoremas sobre limites

Se \(\lim f(z)=A\) e \(\lim g(z)=B\) quando \(z \to z_0\), então

  1. \(\lim [f(z)+g(z)] = \lim f(z) + \lim g(z) = A+B\)
  2. \(\lim [f(z)-g(z)] = \lim f(z) - \lim g(z) = A-B\)
  3. \(\lim [f(z).g(z)] = \lim f(z) . \lim g(z) = A.B\)
  4. \(\lim [f(z)/g(z)] = [\lim f(z)]/[\lim g(z)] = A/B\), se \(B\neq 0\).

Demonstração:

  1. Pela definição de limite devemos mostrar que para qualquer \(\varepsilon > 0\) dado, existe \(\delta > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < \delta\), então:
    \[|[f(z)+g(z)] - [A+B]| < \varepsilon\]
    Temos que
    \begin{align} |[f(z)+g(z)]-[A+B]| & = |[f(z)-A]+[g(z)-B]| \\ & \leq |f(z)-A|+|g(z)-B| \end{align}
    Como \(\lim f(z)=A\) e \(\lim g(z)=B\), dado \(\varepsilon > 0\), existe \(d_1 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < d_1\) então
    \[|f(z)-A| < \varepsilon/2\]
    e existe \(d_2 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < d_2\) tal que
    \[|g(z)-B| < \varepsilon/2\]
    A partir destas considerações, concluímos que
    \[|[f(z)+g(z)]-[A+B]| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon\]
    desde que \(0 < |z-z_0| < d=\min(d_1,d_2)\).
  2. Demonstração análoga ao ítem anterior com o limite de \([f(x)+(-g(x)]\).
  3. Temos que
    \begin{align} |f(z)g(z)-AB| & = |f(z)[g(z)-B]+B[f(z)-A]| \\ & \leq |f(z)||g(z)-B|+|B||f(z)-A| \\ & \leq |f(z)||g(z)-B|+(|B|+1)|f(z)-A| \end{align}
    Assim,
    \[|f(z)g(z)-AB| \leq |f(z)||g(z)-B|+(|B|+1)|f(z)-A| \tag{1}\]
    Como \(\lim f(z)=A\), dado \(\varepsilon=1\), existe \(\delta_1 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < \delta_1\), então
    \[|f(z)-A| < 1\]
    Assim
    \[|f(z)-A| \geq |f(z)|-|A|\]
    isto é,
    \[1 \geq |f(z)|-|A|\]
    ou seja
    \[|f(z)|\leq |A|+1\]
    isto é, \(|f(z)| < k\), onde \(k\) é uma constante positiva.
    Como \(\lim g(z)=B\), dado \(\varepsilon > 0\), existe \(\delta_2 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < \delta_2\) então
    \[|g(z)-B| < \varepsilon/(2k)\]
    Como \(\lim f(z)=A\), dado \(\varepsilon > 0\), existe \(\delta_3 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < \delta_3\), então
    \[|f(z)-A| < \varepsilon/(2|B|+2)\]
    Usando estes resultados em (1), obtemos
    \[|f(z)g(z)-AB| < k \varepsilon/(2k) + (|B|+1).\varepsilon/(2|B|+2) = \varepsilon\]
    onde \(0 < |z-z_0| < d=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)\).
  4. Pelo item anterior, basta mostrar que \(\lim 1/g(z)=1/B\) pois,
    \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to z_0} f(z)\frac{1}{g(z)}=A \frac{1}{B}=\frac{A}{B}\]
    Dado \(\varepsilon=|B|/2\), existe \(\delta_2 > 0\) tal que se \(0 < |z-z_0| < \delta_2\) então
    \[|g(z)-B| < |B|/2\]
    Então
    \begin{align} \frac{1}{g(z)}-\frac{1}{B} & = \frac{B-g(z)}{g(z) B} \\ & \leq 2 \frac{|B-g(z)|}{|B|^2} \end{align}
    Como por hipótese, \(\lim g(z)=B\), dado \(\varepsilon > 0\), existem \(\delta_1 > 0\) tal que
    \[|g(z)-B| < \varepsilon\]
    desde que \(0 < |z-z_0| < \delta_1\) e escolhendo \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), obtemos
    \[|\frac{1}{g(z)} -\frac{1}{B}| < \frac{2\varepsilon}{|B|^2}\]
    sempre que \(0 < |z-z_0| < \delta\), o que completa a demonstração.

Exemplos: Com este teorema podemos calcular diretamente os limites.

  1. Para calcular o limite \(\lim_{z\to 3}(3z^2-4z+3)\) aplicamos diretamente as propriedades 1, 2 e 3 do último teorema.
    \[\lim_{z\to 3}(3z^2-4z+3)=3\lim_{z\to 3}z^{2}+\lim_{z\to 3}z-4\lim_{z\to 3}z+\lim_{z\to 3}3=18\]
  2. Dada a função \(f(z)=(z^2-1)/(z-1)\), observamos que ela não está definida para \(z=1\), embora esteja definida para \(z \neq 1\).
    \begin{align} \lim_{z\to 1} \frac{z^2-1}{z-1} & = \lim_{z\to 1}\frac{(z-1)(z+1)}{z-1} \\ & = \lim_{z\to 1}(z+1) = 2 \end{align}

7 Decomposição de função relacionada ao limite

Seja a função \(w=f(z)\) com domínio \(D\). Decompondo esta função complexa \(w\) em suas partes real e imaginária, obtemos:

\[w = u(x,y) + i v(x,y)\]

sendo \(u=u(x,y)\) e \(v=v(x,y)\) funções reais, definidas no subconjunto \(D\), agora pensado como um conjunto de \(R^2\).

Desse modo, uma condição necessária e suficiente para que

\[\lim_{z\to z_0} f(z) = L = a+bi\]

com \(z_0=x_0 + i y_0\), é que, \(a\) e \(b\) sejam, respectivamente, os limites das funções reais \(u=u(x,y)\) e \(v=v(x,y)\) em \(z_0=(x_0,y_0)\), isto é:

\begin{align} \lim_{z\to z_0} f(z) & = \lim_{z\to z_0} u(x,y) + i \lim_{z\to z_0} v(x,y) \\ & = a + bi = L \end{align}

Esta forma de decomposição é usada para mostrar que algumas funções complexas não possuem limite em algum ponto, isto é feito considerando que o limite quando existe é único, então se exibirmos para uma dada função dois limites diferentes quando tomamos caminhos diferentes estaremos mostrando que o limite não existe.

Exemplos

  1. Para mostrar que \(\lim(2x+iy^2)=-4i\) quando \(z\to 2i\), consideramos \(z=x+iy\). Desse modo, \(z_0=0+2i\) e
    \[\lim_{z\to 2i}(2x+iy^2)=\lim_{x\to 0}2x+\lim_{y\to 2}iy^2=-4i\]
  2. Quando \(z \to 0\), não existe o limite \(\lim z^*/z\). Para que o limite exista, ele não pode depender do modo como \(z\) se aproxima do ponto \(0\). Suponhamos que \(z\to 0\) ao longo do eixo \(OX\). Assim, \(y=0\), \(z=x+iy=x\) e \(z^*=x-iy=x\), logo, o limite fica mais simples
    \[\lim_{x\to 0} \frac{x}{x}=1\]
    Consideremos agora \(z\to 0\) ao longo do eixo \(OY\). Assim, \(x=0\), \(z=x+iy=iy\) e \(z^*=x-iy=-iy\), logo, o limite pode ser simplificado a
    \[\lim_{y\to 0} -\frac{iy}{iy} = -1\]
    Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como \(z\) se aproxima de \(0\), o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.
  3. Não existe o limite
    \[\lim_{z\to 0} \frac{\text{Im}(z^2)}{|z^2|}\]
    Para que o limite exista, ele não pode depender da maneira como \(z\) se aproxima do ponto \(0\). Suponha que \(z \to 0\) ao longo do eixo \(OX\). Assim, \(y=0\), \(z=x+iy=x\) e
    \[\frac{\text{Im}(z^2)}{|z^2|}=\frac{(2xy)}{x^2+y^2}=\frac{0}{x^2}=0\]
    logo, o limite é nulo.
    Consideremos agora \(z \to 0\) ao longo da reta \(y=x\). Assim,
    \[\frac{\text{Im}(z^2)}{|z^2|} = \frac{(2x^2)}{x^2+x^2} = 1\]
    logo, o limite é igual a \(1\).
    Pelo Teorema da unicidade do limite, independente da maneira como \(z\) se aproxima de 0, o limite deveria ser o mesmo, e nesse caso, não existe o limite.
  4. Mostramos que \(\lim \dfrac{z}{z-2i} = \infty\) quando \(z\to 2i\). Vamos mostrar que para \(z\) suficientemente próximo de \(2i\), os valores de \(|f(z)|\) tornam-se muito grandes, que, em linguagem matemática podemos escrever o que segue.
    Para todo \(N > 0\), existe um \(\varepsilon > 0\) tal que se \(|z-2i| < \delta\) então
    \[\left|\frac{z}{z-2i}\right| > N\]
    Primeiramente, analisemos como se comporta \(|f(z)|\), sujeitando \(z\) à condição \(1 < |z| < 3\), e não perdemos nada com esta restrição, pois pretendemos mostrar que o número \(z\) está muito próximo de \(2i\)
    \[|f(z)| = |\frac{z}{z-2i}| = \frac{|z|}{|z-2i|} < \frac{1}{|z-2i|}\]
    Dado \(N > 0\), \(|f(z)|\) deve ser maior que \(N > 0\) se
    \[\frac{1}{|z-2i|} > N\]
    ou seja, \(0 < |z-2i| < 1/N\). Concluímos então que \(\delta < 1/N\), mas devemos também exigir que \(1 < |z| < 3\), sendo assim \(\delta\) também deve ser menor que \(1\), isto é, \(\delta=\min(1,1/N)\).
  5. Mostramos agora que
    \[\lim_{z\to \infty} \frac{4iz-3}{3z-i} = \frac{4i}{3}\]
    Devemos mostrar que a distância entre \(f(z)\) e \(4i/3\) é arbitrariamente pequena para valores de \(|z|\) suficientemente grandes, e para isto devemos garantir que, dado qualquer \(\varepsilon > 0\), existe \(M > 0\) tal que se \(|z| < M\), então
    \[\left|\frac{4iz-3}{3z-i} - \frac{4i}{3}\right| < \varepsilon\]
    Como
    \begin{align} \left|\frac{4iz-3}{3z-i} - \frac{4i}{3}\right| & = |\frac{-13}{9z-3i}| \\ & = \frac{13}{|9z-3i|} \\ & \leq \frac{13}{9|z|-3} \end{align}
    esta última desigualdade é facilmente verificada se observarmos que
    \[|9z-3i| < ||9z|-|3i|| \leq 9|z|-3\]
    Supondo que \(|z| < 3\), esperamos que \(M > 0\) seja suficientemente grande, assim
    \begin{align} |\frac{4iz-3}{3z-i} - \frac{4i}{3}| & \leq \frac{13}{9|z|-3} \\ & \leq \frac{13}{(8|z|+|z|)-3} \\ & \leq \frac{13}{8|z|} \end{align}
    e isto será menor que \(\varepsilon\) se \(|z| < \frac{13}{8} \varepsilon\), e escolhendo \(M=\text{max}(3,\frac{13}{8}\varepsilon))\) obtemos
    \[|\frac{4iz-3}{3z-i} - \frac{4i}{3}| < \varepsilon\]
    desde que |z| > M.

8 Exercícios propostos

Usando a definição de limite,

  1. provar que, \(\lim(3x-5i)=6\) quando \(z\to 2\).
  2. provar que, \(\lim (z^2-9)/(z-3)=6\) quando \(z\to 3\).
  3. provar que \(\lim 5z=5\) quando \(z\to 1\) e interpretar geometricamente a relação existente entre \(\varepsilon\) e \(\delta\), usando o fato que \(\delta=\varepsilon/5\).
  4. provar que \(\lim z^2=4,001\) é falsa, quando \(z \to 2\), escolhendo um valor apropriado para \(\varepsilon\) para mostrar que a expressão matemática não é correta.
  5. calcular o limite \(\lim(z^4-81)/(z^2-9)\), quando \(z \to 3\).
  6. calcular o limite \(\lim(z^2-2z-8)/(z^2+2z-24)\), quando \(z \to 4\).
  7. calcular o limite \(\lim(\sqrt{1+z}-\sqrt{1-z})/z\), quando \(z \to 0\).