Seja um subconjunto D do plano complexo C. Uma função complexa é uma correspondência que associa a cada elemento z 
D um único número w=f(z) C. As notações mais comuns para representar uma função complexa são:
C, f:z D f(z) C ou w=f(z)O domínio de f, denotado por Dom(f), é o subconjunto D dos números complexos onde a função está bem definida.
A imagem de f, denotada por Im(f), é o subconjunto dos números complexos D}
Dada uma função w=f(z), com z=x+iy e w=u+iv, podemos ter a seguinte interpretação geométrica da aplicação f:D C:
É usual considerarmos a regra de definição da função w=f(z) sem especificar o seu domínio, nestes casos fica subtendido que o domínio da função é o maior subconjunto dos números complexos no qual a aplicação w=f(z) faz sentido.
Exemplos: Alguns exemplos sobre o domínio de funções complexas
f(z)=z²=(x+iy)². Como no caso real, funções polinomiais estão definidas para todos os valores de z, sendo assim o domínio desta função é todo o plano complexo.
f(z)=1/z. Como não podemos ter divisão por zero, o domínio desta função é todo o plano complexo exceto o número z=0. Como z=x+iy, o domínio é todo o plano complexo exceto os eixos coordenados.
f(z)=(z−3i)/(z+8). Neste exemplo o domínio é todo o plano complexo exceto o número z=−8.
Observações:
Em uma aplicação w=f(z), se as variáveis z e w são complexas, f é dita função complexa de uma variável complexa.
A função f(z)=z²=(x+iy)²=(x²−y²)+2xyi é uma função complexa da variável complexa z.
Se o domínio da função é um subconjunto dos números complexos e a imagem é um subconjunto dos números reais, a função w=f(z) é dita função real de uma variável complexa
Como exemplo a função f(z)=|z|=[x²+y²]1/2 é uma função real da variável complexa z.
Se o domínio da função é um subconjunto dos números reais e a imagem é um subconjunto dos números complexos, a função w=f(z) é dita função complexa de uma variável real. Para exemplificar considere a função f(x,y)=x+iy com x e y números reais.
Uma restrição de uma função f:D C é a função f1: S C, onde S é subconjunto do domínio D.
Analogamente, podemos ter uma extensão da função f1, como por exemplo a função
Uma função w=f(z) é uniforme ou unívoca se a cada valor de z, corresponde um único valor de w.
Funções plurívocas, multiformes ou multivalentes são funções que para um valor dado da variável z, associam dois ou mais números w=f(z) distintos.
Exemplos:
A função w=z² é uniforme (unívoca) pois para cada z existe um único valor de w.
A função w=z 1/2 é multiforme (plurívoca), pois para cada valor de z existem dois valores de w.
Este assunto é de natureza um pouco delicada e será tratado com maior atenção posteriormente.
Uma função w=f(z) de variável complexa pode ser decomposta em duas funções reais de R², a parte real da função u(x,y)=Re f(z) e a parte imaginária da função v(x,y)=Im f(z).
Exemplos:
A função f(z)=z², z=x+iy é decomposta em
u(x,y)=x²+y² e v(x,y)=2xy
Sendo f(z)=z³ e z=x+iy temos
f(z) = (x+iy)³=(x+iy)(x+iy)²
ou seja
f(z)+(x+iy)(x²−y²+i2xy)=(x³−3xy²)+i(3x²−y³)
assim
u(x,y)=x³−3xy² e v(x,y)=2xy
Para a função definida por f(z)=z.ez temos que
f(z) = (x+iy)e x+iy=(x+iy)exeiy=(x+iy)ex[cos(y)+isen(y)]
ou seja
f(z)= ex[x cos(y) − y sen(y)]+iex[xsen(y)+ycos(y)]
assim
u(x,y)=ex[xcos(y) − ysen(y)] e v(x,y)=ex[xsen(y)+ycos(y)]
Usualmente, uma função real é visualizada pelo traçado de seu gráfico y=f(x) em um sistema cartesiano com um dos eixos para a variável do domínio x e outro para a variável da imagem y.
Para funções complexas f: C C a visualização de gráficos não é tão simples pois o plano complexo C é bidimensional então seria necessário um espaço de quatro dimensões para traçar o gráfico da função
O método mais comum é considerar dois planos complexos, um para z e outro para w. No plano w traçamos a imagem da função f sobre algumas curvas e áreas no plano do domínio z.
A correspondência entre pontos de z e w é chamada de transformação de pontos de z em pontos de w pela função f.
Exemplos
Um ponto P do plano z, se move descrevendo um círculo unitário de centro na origem e no sentido anti-horário. Se a tranformação for dada por
Se z=reit e o círculo é unitário, segue que |z|=1, r=1 e z=eit.
Assim, w=z²=(eit)²=e 2it denotando por r' e t' as coordenadas no plano w, teremos w=r'e it'=e 2it, logo r'=1 e t'=2t.
Com isto, concluímos que enquanto o ponto P se move no plano z, a imagem P' no plano w se move sobre um círculo de raio unitário e centro na origem pois r'=1 e enquanto P descreve um ângulo t no plano z, a imagem P' descreve um ângulo 2t no plano w.
Considere a função f(z)=z² e examinaremos a imagem no plano w transformada por esta função sobre as retas x=± 1 e y=± 1.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z1=−1−i e z2=−1+i é dada por:
z(t)=z1+t(z2−z1) 0<t<1
ou por
z(t)=(−1−i)+t(2i)=−1+i(−1+2t) 0<t<1
Observe que z é uma função de t e w também é uma função de t pois é a composta
w(t)=[−1+i(−1+2t)]²=(4t−4t²)+i(2−4t) 0< t<1
Mostramos um esboço do gráfico no plano w na figura seguinte.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z2=−1+i e z3=1+i é dada por:
z(t)=z2+t(z3−z2) 0<t<1
Obtemos assim
z(t)=(−1+i)+t(2)=(−1+2t)+i 0<t<1
assim,
w(t)=[(−1+2t)+i]²=(−4t+4t²)+i(−2+4t) 0< t<1
Um esboço do gráfico é mostrado na sequência.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z3=1+i e z4=1−i é dada por:
z(t)=z3+t(z4−z3) 0<t<1
Neste caso
z(t)=(1+i)+t(−2i)=1+i(1−2t) 0<t<1
então,
w(t)=[1+i(1−2t)]²=(4t−4t²)+i(2−4t) 0< t<1
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z4=1−i e z1=−1−i é dada por:
z(t)=z4+t(z1−z4) 0<t<1
Temos então
z(t)=(1−i)+t(−2)=(1−2t)−i 0<t<1
assim,
w(t)=[(−1−2t)−i]²=(−4t+4t²)+i(−2+4t) 0< t<1
Então, as imagens no plano w sobre o quadrado x=± 1 e y=± 1 transformadas por w=z² são parábolas como as ilustradas na figura seguinte.
Para retas x=± c e y=± c, onde c é uma constante real, as imagens também serão parábolas como estas com as interseções com os eixo coordenados em outros pontos.