Matemática Essencial
Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil
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Conjuntos de pontos no plano complexo
Sônia Ferreira Lopes Toffoli
Material desta página
1 Equações paramétricas de curvas no plano complexo
Um meio eficiente para estudar curvas no plano complexo é através de equações paramétricas. As coordenadas dos pontos da curva são dadas como funções \(x=x(t)\) e \(y=y(t)\) de uma variável real \(t\in[a,b]\), que é denominada parâmetro. A curva é orientada no sentido em que o parâmetro \(t\) cresce.
\[C=\{z\in C: z=z(t)=x(t)+iy(t),\quad a\leq t\leq b\}\]
Uma curva orientada complexa, tratada como um conjunto de pontos em \(R^2\), consiste de pares ordenados da forma \([x(t),y(t)]\) com \(a\leq t\leq b\). O sentido positivo da curva \(C\) é aquele dado quando se faz \(t\) crescer.
2 Ordenando pontos sobre uma curva
Seja \(C\) uma curva representada parametricamente por \(z=z(t)\) onde \(t\) é um parâmetro no intervalo \([a,b]\). Sejam \(P\) e \(Q\) dois pontos da curva \(C\) tal que \(P=z(t_1)\) e \(Q=z(t_2)\). Se \(t_1<t_2\), dizemos que \(P\) precede (fica antes de) \(Q\) na curva e denotamos isto por
\[P=z(t_1) \prec z(t_2)=Q\]
Desse modo, quando \(t\) cresce de \(a\) até \(b\), os pontos \(z=z(t)\) percorrem a curva \(C\) de \(z(a)\) até \(z(b)\). O número complexo \(z(a)\) é a origem da curva \(C\) e \(z(b)\) é a extremidade da curva \(C\). Tais pontos são denominados os extremos da curva \(C\). Os pontos de \(C\) estão assim ordenados e por isso a curva é denominada uma curva orientada.
3 Equação paramétrica da reta no plano complexo
Sejam \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\) dois pontos fixados no plano cartesiano representando, respectivamente, os números complexos \(z_1=x_1+iy_1\) e \(z_2=x_2+iy_2\). Seja \(P=(x,y)\) um ponto arbitrário da reta que passa pelos pontos \(A\) e \(B\), de modo que \(z=x+iy\) seja um número complexo.
Desse modo, temos que
\begin{align} OA+AP=OP & \Leftrightarrow z_1 + AP = z \\ OA+AB=OB & \Leftrightarrow z_1 + AB = z_2 \end{align}
Como \(AP=z-z_1\) e \(AB=z_2-z_1\) são colineares, temos que \(AP=t(AB)\), ou ainda, \(z-z_1=t(z_2-z_1)\) onde \(t\in R\). Então, a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos \(A\) e \(B\) é dada pela equação
\[z = z_1 + t(z_2-z_1) \tag{$t\in R$}\]
4 Parametrização do segmento de reta no plano complexo
Sejam \(z_0\) e \(z_1\) números complexos (ou pontos no plano complexo). Tomando \(t\in[0,1]\) na equação paramétrica da reta, limitamos o nosso conjunto a um segmento de reta, cujas extremidades são \(z_0\) e \(z_1\). Assim:
\[z(t) =(1-t)z_0 + t z_1 \tag{$0\leq t\leq 1$}\]
é a parametrização (representação paramétrica) do segmento de reta, com origem em \(z_0=z(0)\) e extremidade \(z_1=z(1)\).
Usamos a notação \([z_0,z_1]\) para denotar o segmento de reta com origem em \(z_0\) e extremidade em \(z_1\). Esta notação é semelhante àquela de um intervalo fechado na reta real.
Exemplo: O segmento de reta de \(z_0=1-2i\) até \(z_1=-3+4i\) tem equação paramétrica: \(z(t)=(1-2i)+t(-4+6i)\) onde \(0\leq t\leq 1\).
5 Ponto médio de um segmento de reta no plano complexo
Para obter o ponto médio de um segmento de reta com equação paramétrica
\[z(t) = (1-t) z_0 + t z_1 \tag{$0\leq t\leq 1$}\]
basta tomar \(t=\frac12\). Realmente, se \(u=x_0+iy_0\) e \(v=x_1+iy_1\), o ponto médio do segmento \([u,v]\) tem coordenadas
\[x_m =\frac12(x_0+x_1), y_m =\frac12(y_0+y_1)\]
Exercício: Sejam \(u=1+2i\), \(v=4-2i\) e \(w=-3+i\) vértices de um triângulo. Obter a equação da mediana que passa por \(u\) e pelo ponto médio do segmento \([v,w]\).
6 Distância entre pontos no plano complexo
Se \(u=x_1+iy_1\) e \(v=x_2+iy_2\), definimos a distância entre \(u\) e \(v\), como:
\[d(u,v) = |u-v| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2}\]
7 Circunferência no plano complexo
Uma circunferência centrada em um ponto \(p\) é o lugar geométrico de todos os números complexos \(z\), que estão a uma distância fixa de \(p\), denominada raio da circunferência. Se \(p=a+bi\cong(a,b)\) é o centro da circunferência e \(z=x+iy\cong(x,y)\) é um ponto qualquer da circunferência, a distância entre \(z\) e \(p\) é fixa, em geral, denotada por \(r\). A equação da circunferência toma a forma \(|z-p|=r\) ou
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
8 Conceitos topológicos no plano complexo
Apresentamos agora, algumas noções elementares sobre a topologia do plano complexo. Alguns desses conceitos são similares aos da reta real. Estas noções são baseadas na forma de medir a distância entre dois pontos do plano complexo. Existem muitas formas para realizar isto.
- Disco aberto: Seja \(p\) um número complexo e \(r>0\). Um disco aberto de centro em \(p\) e raio \(r\) é o conjunto de todos os números complexos \(z\) tal que a distância de \(z\) a \(p\) é menor do que \(r\). Podemos denotar esta definição por:
\[D_r(p)=\{z:|z-p|<r\}\]
Exemplo: O conjunto dos pontos \(z\) tal que \(|z-(-2+2i)|<2\) é o disco aberto de centro em \(p=-2+2i\) e raio \(r=2\). 
2.Disco fechado: Seja \(p\) um número complexo e \(r>0\). Um disco fechado de centro em \(p\) e raio \(r\) é o conjunto de todos os números complexos \(z\) tal que a distância de \(z\) a \(p\) é menor ou igual a \(r\). Denotamos isto por
\[D_r[p] = \{z:|z-p|\leq r\}\]
Exemplo: O conjunto dos pontos \(z\) tal que \(|z-(2+2i)|\leq 2\) é o disco fechado centrado em \(p=-2+2i\) e raio \(r=2\).
- Vizinhança aberta: Diz-se que o conjunto \(S\) é uma vizinhança aberta de um número complexo \(p\) se, existe um disco aberto centrado em \(p\) com um raio \(r>0\), inteiramente contido no conjunto \(S\).
- Vizinhança fechada: Diz-se que o conjunto \(S\) é uma vizinhança fechada de um número complexo \(p\) se, existe um disco fechado centrado em \(p\) com um raio \(r>0\), inteiramente contido em \(S\).
- Ponto de acumulação: Um número complexo \(p\) é ponto de acumulação de um conjunto \(S\), se toda vizinhança aberta de \(p\) contém pontos de \(S\) que são diferentes do próprio \(p\). Note que \(p\) pode não estar no conjunto \(S\).
Exemplo: O número complexo \(p=i\) é um ponto de acumulação do conjunto
\[S = \{i-\frac{1}{n}: n=1,2,3,4,\cdots \}\]
- Ponto de aderência: Um ponto \(p\) é ponto de aderência de um conjunto \(S\), se toda vizinhança aberta de \(p\) contém pontos de \(S\). Note que \(p\) pode não pertencer ao conjunto S e que existe uma sutil diferença entre os conceitos de ponto de acumulação e ponto de aderência.
Exemplo: Cada número complexo do conjunto
\[S=\{i+n: n=1,2,\cdots\}\]
é um ponto de aderência de \(S\), mas nenhum deles é ponto de acumulação de \(S\).
- Ponto isolado: Um ponto \(p\in S\) é ponto isolado se, não é ponto de acumulação de \(S\). Isto significa, que é possível construir um disco aberto centrado em \(p\), contendo apenas este ponto.
Exemplo: Cada número complexo do conjunto \(S=\{i+n: n=1,2,\cdots\}\) é um ponto isolado de \(S\).
- Conjunto fechado: Um conjunto \(S\) é fechado, se todo ponto de acumulação de \(S\) pertence ao conjunto \(S\).
Exemplos: Todo disco fechado é um conjunto fechado, mas o conjunto
\[S=\{i-\frac{1}{n}: n=1,2,\cdots\}\]
não é fechado, pois o número complexo \(z=i\) é um ponto de acumulação de \(S\) que não pertence ao conjunto \(S\).
- Conjunto aberto: Um conjunto \(S\) é aberto, se o seu complementar \(S^c\) é um conjunto fechado.
- Conjunto limitado: Um conjunto \(S\) é limitado, se existe uma constante \(M>0\) tal que \(|z|<M\) para todo \(z\in S\). Se o conjunto não é limitado, ele é dito ilimitado.
- Conjunto compacto: Um conjunto \(S\) do plano complexo, é dito compacto, se é ao mesmo tempo, fechado e limitado.
- Ponto interior: Um ponto \(p\) é um ponto interior de um conjunto \(S\), se existe uma vizinhança aberta de \(p\) inteiramente contida em \(S\).
- Ponto de fronteira: Um ponto \(p\) é um ponto de fronteira de um conjunto \(S\), se toda vizinhança de \(p\) contém pontos de \(S\) e pontos que não estão em \(S\).
Exemplo: O conjunto dos pontos \(z\) tais que \(|z|=2\) consiste na fronteira do disco de centro na origem e raio \(2\).
- Ponto exterior: Um ponto \(p\) é um ponto exterior a um conjunto \(S\), se ele não é ponto interior de \(S\) e também não é ponto da fronteira de \(S\).
- Conjunto aberto: Um conjunto \(S\) é aberto, se todos os pontos de \(S\) são pontos interiores.
- Linha poligonal: Sejam dois pontos \(u\) e \(v\) no plano complexo de modo que \(z=z(t)\) com \(a\leq t\leq b\), onde \(u=z(a)\) e \(v=z(b)\). Uma linha poligonal de \(u\) até \(v\) é a reunião de um número finito de segmentos de reta, construídos no plano do seguinte modo. Particionamos o intervalo \([a,b]\) em um número finito de subintervalos \([t_0,t_1]\), \([t_1,t_2],\cdots\), \([t_{n-1},t_n]\), com:
\[a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots <t_{n-1} < t_n = b\]
onde para cada subintervalo \(t_j \leq t \leq t_{j+1}\) com \(j=0,\cdots,j=n\), corresponde um segmento de reta \(z=z(t)\), \(t_j\leq t\leq t_{j+1}\) com a extremidade de cada segmento coincidindo com o início do segmento de reta seguinte, o que significa que a curva formada pela reunião (finita) destes segmento de retas possui limites laterais finitos em cada \(t_j\).
- Conjunto conexo (por caminhos): Um conjunto \(S\) é conexo, se quaisquer dois pontos de \(S\) podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida no conjunto \(S\).
Exemplo: O conjunto \(S=\{z:2<|z|<3\}\) de todos os números complexos que estão fora do disco fechado com raio \(2\) e dentro do disco aberto de raio \(3\), formando uma coroa circular, com as circunferências centradas na origem, é um conjunto aberto e conexo.
- Domínio: Um conjunto \(S\) é denominado domínio se é, ao mesmo tempo, aberto e conexo.
Exercício: Representar graficamente os seguintes conjuntos de pontos.
- \(|z| = 2\)
- \(4 < |z| < 10\)
- \(\text{Re}[\frac{z+1}{i+1}] < 0\)
- \(\text{Im}[\frac{z-i}{i}]<0\)
- \(|\frac{z-i}{i-1}|=2\)
- \(2<|\frac{z-i}{i}|<3\)
Exercício: Determinar a equação cartesiana da curva complexa \(z=\sqrt{1-t^2}+2ti\) onde \(-1\leq t\leq 1\). Construir um esboço gráfico desta curva.