Os números complexos

Os números complexos são úteis para resolver equações do tipo x²+1=0 uma vez que não existe qualquer número real com a propriedade que o seu quadrado seja igual a −1. Todo número complexo tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=−1.

Dado o número complexo z=a+bi, então a é a parte real de z, denotada por Re(z) e b é a parte imaginária de z, denotada por Im(z).

O conjunto dos números reais pode ser considerado como um subconjunto dos números complexos com b=0. Se a=0 o número complexo 0+bi=bi recebe o nome de número imaginário puro.

Exemplos:

1. z=3+0i é um número real, pois Re(z)=3 e Im(z)=0.

2. z=7+4i é um número complexo, pois Re(z)=7 e Im(z)=4.

3. z=0+5i é um número imaginário puro, pois Re(z)=0 e Im(z)=−5.

4. z=−2+0i é um número real, pois Re(z)=−2 e Im(z)=0.

5. z=0+0i é um número real, pois Re(z)=0 e Im(z)=0.

Igualdade de números complexos

Dois números complexos z=a+bi e w=c+di são iguais se, e somente se, a=c e b=d.

Exercício: Determinar números reais x e y tal que 3x+2iy−ix+5y=7+5i.

Adição e subtração de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a adição e a subtração entre os números complexos z e w, respectivamente por:

z+w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z−w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Exercício: Efetuar as seguintes operações:

1. A=(8+7i)+(5−3i)

2. B=(2+3i)−(8−6i)

Produto de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos o produto entre os números complexos z e w, por

Exercício: Efetuar as seguintes operações:

1. A=(5−4i).(7−3i)

2. B=(7−2i)²−2i(5−i)

3. C=(1+i/5).(−8/3+6i)

4. D=(1+3i)³

Conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo z=a+bi é definido como o número complexo z ^*=a−bi.

As propriedades gerais do conjugado são:

1. O conjugado do conjugado de z é igual a z, isto é, (z ^*)^*=z.

2. O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos conjugados desses números, isto é, (z+w)^*=z ^*+w ^*.

3. O conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados desses números, isto é, (z.w)^*=z ^*.w ^*.

4. Se z for um número real, o conjugado de z é o próprio z e além disso:

   Re(z)=½(z+z ^*)    e    Im(z)=½(z−z ^*)

As demonstrações devem ser realizadas pelo interessado.

Exercícios: Obter o conjugado de cada um dos números complexos:

1. z=2i²−(5−i)

2. w=(3−2i)−(1+i)(1−i)i

Divisão de números complexos

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a divisão entre z e w, por

Muitas vezes usaremos a notação mais simples z/w para representar a divisão de z por w.

Exercício: Escrever na forma z=a+bi, cada uma das expressões abaixo:

1. z=1/i

2. z=(9−7i)/(1−5i)

3. z=(1+i)/(1−i)

4. z=1/(5+2i)

5. z=[i/(i+1)]⁵

6. z=(−2+3i)/(1+2i)

Valor absoluto de um número complexo

O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=a+bi é definido como sendo o número real não negativo

|z|=(a²+b²)^1/2

Propriedades do Valor absoluto: Se z e w são números complexos, então:

1. |z| = |−z| = |z ^*|

2. |z| > 0

3. |z| = 0 se, e somente se, z=0.

4. |z.w| = |z|.|w|

5. |z/w|= |z|/|w| se w 0.

6. z.z ^* = |z|²

7. |z+w|<|z|+|w|, (desigualdade triangular).

8. |z−w|<|z|+|w|, (desigualdade triangular).

9. |z|−|w|<|z−w|, (desigualdade triangular).

10. |Re(z)|<|z|

11. |Im(z)|<|z|

Exercício: Se u=2+i e v=3−2i, determinar o valor da expressão z=|3u−4v|

Plano complexo

Podemos interpretar os números complexos como sendo pontos do plano cartesiano. Um número complexo z=a+bi pode ser representado pelo par ordenado (a,b) de números reais que corresponde a um ponto P do plano cartesiano R² com coordenadas a e b.

Exemplos

1. z=2+2i pode ser representado pelo ponto (2,2).

2. z=−2+2i pode ser representado pelo ponto (−2,2).

3. z=3−2i pode ser representado pelo ponto (3,−2).

4. z=−2−3i pode ser representado pelo ponto (−2,−3).

Estes números estão representados no gráfico:

Interpretação vetorial dos números complexos

Um número complexo z=a+bi pode ser considerado como um vetor OP onde a origem deste vetor é a origem do plano cartesiano O=(0,0) e a extremidade é o ponto P=(a,b). Desse modo, o vetor tem coordenadas a e b.

As regras do paralelogramo para a soma e subtração de vetores também se aplicam para soma e subtração de números complexos.

Exercícios:

1. Efetuar as operações indicadas analítica e graficamente os números complexos z=(2+4i)+(3+2i) e w=(3−2i)−(3+4i).

2. Se u e v são números complexos, construir graficamente os números complexos z=3u−3v e w=v/2+u/3.

Forma polar dos números complexos

Dado um número complexo não nulo z=a+bi, considere a sua representação geométrica

O argumento de z é o ângulo t formado entre o vetor OZ e o eixo OX e o módulo de z é a distância entre o número z e a origem do sistema cartesiano. Logo:

onde r=|z|=(a²+b²)^1/2 e podemos escrever:

Esta é a representação polar do número complexo z, onde r e t são suas coordenadas polares.

Também são usuais as notações

Exercício: Para cada número complexo apresentado, escrever a sua forma polar e representar este número geometricamente.

1. z=2+2i³

2. z=−6−i²

3. z=1+i

4. z=−1−R[3]i, onde R[3] é a raiz quadrada de 3.

5. z=(−i/(1−i))⁵

6. z=(−5/3−i)

Fórmula de De Moivre

Sejam z₁ e z₂ números complexos, tal que

Multiplicando estes números complexos, obtemos:

Concluímos que, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, basta multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos, isto é,

Vale um resultado análogo para a divisão de números complexos:

Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, devemos realizar o quociente de seus módulos e a diferença dos seus argumentos.

Se z_j=r_j[cos(t_j)+i sen(t_j)], para j=1,2,...,n, então, temos uma generalização do fato acima:

Se z₁=z₂=...=z_n e r=1, temos a Fórmula de De Moivre:

Exercício: Demonstrar as seguintes identidades trigonométricas:

1. sen(3t) = 3 sen(t) − 4 sen³(t)

2. cos(3t) = 4 cos³(t) − 3 cos(t)

Exercício: Efetuar cada uma das operações indicadas:

1. z₁=[4(cos(40º)+i sen(40º)].[5(cos(80º)+i sen(80º)]

2. z₂=[5 cis(20º)][3 cis(40º)]

3. z3=[2 cis(50º)]⁶

4. z4=[8 cis(40º)]³÷[2.cis(60º)]⁴

Raízes n-ésimas de números complexos

Um número complexo p é um zero de uma função complexa f(z)=0 se f(p)=0. Um número w é uma raiz n-ésima de um número complexo z, se wⁿ=z. A raiz n-ésima pode ser denotada por:

Consideremos os números complexos z e w na forma polar:

Se wⁿ=z, então usando a fórmula de De Moivre, obtemos:

Igualando as partes reais e as partes imaginárias, obteremos

Dessa forma, para todo k inteiro não negativo, temos

Rⁿ = r    e    nu = t + 2k

Assim, w_k indicará a k-ésima raiz por:

w_k = r ^1/n [ cos(2k/n) + sen(2k/n) ]

Se k>n, as raízes se repetem e basta tomar k=0,1,...,n−1 para esta fórmula produzir n raízes distintas do número complexo z.

Exemplo 1: As raízes cúbicas de z=8i podem ser obtidas da seguinte forma. Se z=0+8i, então |z|=8 e t=/2. Logo:

Os argumentos são

t₀=(t+0)/3=/6,    t₁=(t+2)/6=5/6,    t₂=(t+4)/3=9/6

Usando a notação R[3] para a raiz quadrada de 3, as raízes cúbicas de z=8i são:

w0	=	2 [cos(1/6) + i sen(1/6)] = +R[3] + i
w1	=	2 [cos(5/6) + i sen(5/6)] = −R[3] + i
w2	=	2 [cos(9/6) + i sen(9/6)] = 0 −2i

As n raízes de um número complexo z estão localizadas sobre uma circunferência de raio igual a |z|^1/n, centrada na origem, sendo que tais números dividem esta circunferência em n partes iguais.

As raízes cúbicas de z=8i estão representadas na figura pelas letras w₀, w₁ e w₂.

Exemplo 2: Para resolver a equação complexa z ⁶−1=0, basta obter as 6 raízes complexas da unidade, ou seja, obter w tal que w ⁶=1. Basta então obter w=1^1/6=1. Tomaremos z=1, r=1, t=arg(1)=0 e r ^1/6=1^1/6=1. Os argumentos das raízes são:

t₀=t/6=0,    t₁=1/3,    t₂=2/3,    t₃=3/3,    t₄=4/3,    t₅=5/3

Portanto, as raízes de z ⁶=1, são:

w0	=	cos(0/3) + i sen(0/3) = 1
w1	=	cos(1/3) + i sen(1/3) = 1/2 + 3i/2
w2	=	cos(2/3) + i sen(2/3) = −1/2 + 3i/2
w3	=	cos(3/3) + i sen(3/3) = −1
w4	=	cos(4/3) + i sen(4/3) = −1/2 − 3i/2
w5	=	cos(5/3) + i sen(5/3) = 1/2 − 3i/2

As raízes de z ⁶=1 estão representadas na figura abaixo.

Exercício: Obter as raízes das equações abaixo no conjunto dos números complexos e construir os gráficos correspondentes.

1. z ^1/4 = 1

2. z ^1/4 = −1

3. z³=−1

4. z³=3

5. z²+z+1=0

6. z³−i=0

7. z³+27i=0

8. z²+(2i−3)z+5−i=0

9. (1+3i)z²+4=0

Fórmula de Euler

Consideremos os desenvolvimentos em séries de potências das funções reais: exponencial, cosseno e seno.

exp(x)	=	∞ n=0	xn n!	= 1 + x +	x² 2!	+	x³ 3!	+...
cos(x)	=	∞ n=0	(−1)n x 2n (2n)!	= 1 −	x² 2!	+	x 4 4!	+...
sen(x)	=	∞ n=0	(−1)n x 2n−1 (2n−1)!	= x −	x³ 3!	+	x 5 5!	+...

Estudamos no curso de Cálculo de funções reais, que estas fórmulas são válidas para todo x real. Vamos admitir (sem as devidas demonstrações) que o desenvolvimento em série de potências de exp(x)=e^x também seja válido para números complexos, isto é, que seja possível realizar o mesmo desenvolvimento para exp(z)=e^z, mas tomaremos um caso particular em que a parte real do número complexo seja nula.

Assim, tomando z=0+iy=iy com y real, podemos escrever:

eiy =	∞ n=0	(iy) n n!	=	1 + iy +	(iy)² 2!	+	(iy)³ 3!	+	(iy)4 4!	+	(iy)5 5!	+	(iy)6 6!	+	(iy)7 6!	+	(iy)8 6!	+...
			=	1 + iy −	y² 2!	−i	y³ 3!	+	y 4 4!	+ i	y 5 5!	−	y 6 6!	− i	y 7 7!	+	y 8 8!	+...

Um estudo mais detalhado sobre séries absolutamente convergentes será realizado em um capítulo posterior. Tendo em vista que uma série absolutamente convergente, permite rearranjar os termos da série, separaremos a parte real desta série de sua parte imaginária.

Comparando com as séries de potências das funções cosseno e seno, obtemos:

A função exponencial complexa

Baseado no que foi apresentado acima, podemos definir a função exponencial de um número complexo z=x+iy, como:

Propriedades da exponencial complexa: Quaisquer que sejam os números complexos z e w, valem as seguintes propriedades:

1. e^z.e^w=e ^z+w

2. e ^−z=1/e^z

3. [e^z] ⁿ=e^nz se n é um número inteiro.

4. e^z 0

5. |e^z|=e ^Re(z)

6. e^z=1 se, e somente se, z=2ki, onde k é um número inteiro.

Notação compacta de um número complexo: A partir da definição de exponencial de um número complexo z, podemos escrevê-lo na forma polar com a notação compacta z=r.e^it, onde r=|z| e t é o argumento de z.

Exemplo: O número complexo z=−1+3i tem módulo |z|=2 e argumento t=2/3, logo z=2e²i/3.

Observação: Existe uma conexão entre a exponencial, o cosseno e seno.

Exercícios: Escrever cada número complexo na forma z=r.e^it.

z1 = 2−2i,   z2 = 22+22i,   z3 = −i,   z4 = −1−3i,   z5 = −5   e   z6 = −3−4i