Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Superior
Roteiro geral de Variáveis Complexas
  1. Números complexos
    Números complexos. Igualdade, adição, subtração, multiplicação de números complexos. Conjugado de um número complexo. Divisão de números complexos. Valor absoluto de um complexo. O plano complexo. Interpretação vetorial dos complexos. Forma polar dos números complexos. Fórmula de De Moivre. Raízes n-ésimas de complexos. Fórmula de Euler. Propriedades da função exponencial.
  2. Conjuntos de pontos no plano complexo
    Equações paramétricas no plano complexo. Um tipo de ordem sobre pontos sobre uma curva. Equação paramétrica da reta. Parametrização de segmento. Ponto médio de um segmento. Distância entre pontos. Circunferência no plano complexo. Conceitos topológicos.
  3. Funções de uma variável complexa
    O conceito de função complexa. Funções uniformes e multiformes. Decomposição de uma função complexa. Representação geométrica.
  4. Limites de funções de uma variável complexa
    Limite de uma função complexa. Função limitada e limite da função. Limites no infinitos e limites infinitos. Unicidade do limite. Teoremas sobre sobre limites. Decomposição de função e o limite.
  5. Continuidade de funções de uma variável complexa
    Função contínua em um ponto. Descontinuidade removível e essencial. Função contínua em uma região. Composição de funções. Teoremas sobre a continuidade
  6. Derivadas de funções de uma variável complexa
    Derivada de uma função complexa em um ponto. Função analítica em um domínio complexo. Função analítica real versus função analítica complexa. Derivada em um ponto isolado. Funções analíticas e continuidade. Propriedades das funções analíticas. Regra da cadeia (Derivada da composta). Regras de derivação de algumas funções complexas. Equações de Cauchy-Riemann.
  7. Funções elementares e analiticidade
    Função Polinomial. Funções racionais. Função exponencial. Funções trigonométricas e hiperbólicas. Funções hiperbólicas. Funções uniformes e multiformes. Superfícies de Riemann. Exercícios.
  8. Curvas, contornos e regiões
    Curva orientada. Parametrização de curvas. Curva parametrizada contínua. Curva de Jordan. Curva fechada. Ponto múltiplo, ponto simples e curva com ponto múltiplo. Curva fechada simples. Curva regular. Contorno (ou caminho). Teorema da curva de Jordan. Região simplesmente conexa.
  9. Integrais de funções complexas
    Integral de linha complexa. Propriedades das integrais complexas. Exercícios propostos.
  10. Teoremas integrais
    Orientação de um contorno fechado. Teorema de Green. Teorema integral de Cauchy. Teorema da independência do caminho. Teorema integral de Cauchy versus independência do caminho. Consequências do Teorema de Cauchy. Exercícios propostos e resolvidos.
  11. Fórmula Integral de Cauchy
    Fórmula Integral de Cauchy. Derivada de uma função analítica. Teorema de Morera. Exercícios Propostos.
  12. Séries de funções de uma variável complexa
    Sequências de funções. Séries de funções. Alguns teoremas importantes. Convergência absoluta e condicional. Teoremas sobre convergência absoluta. Alguns testes para convergência. Convergência uniforme de série de funções. Teoremas sobre convergência uniforme.
  13. Séries de potências
    Séries de potências. Raio de convergência. Série de potências e função analítica. Série de Taylor. Representação de funções por série de potências. Exercícios propostos.
  14. Séries de Laurent e singularidades
    Introdução às séries de Laurent. Teorema de Laurent. Zeros de funções complexas. Singularidades isoladas. Comportamento no infinito.
  15. Resíduos
    Desenvolvimento de Laurent. Definição de resíduo. Teorema dos resíduos. Cálculo do Resíduo em um: polo simples, polo duplo e polo múltiplo. Aplicações ao cálculo de integrais reais. Exercícios propostos.
  16. Referências bibliográficas para Variável Complexa
    Referências bibliográficas para Variável Complexa.