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Na sequência são apresentados alguns tipos especiais de Equações Diferenciais e algumas formas para obter as respectivas soluções por redução a outras mais simples.
A solução é obtida por \(n\) integrais sucessivas da função \(f=f(x)\).
Exemplo: \(y''' = 2x + 7\)
Realizar a primeira integral para reduzir a ordem para:
Na sequência tomar duas outras integrais para obter:
Exemplo: \(x y''+y'=0\)
Tomando \(p(x)=y'(x)\), obtemos a EDO com a ordem uma unidade a menos na variável dependente \(p\) e na variável independente \(x\):
A solução desta equação é:
Agora, basta resolver a equação
para obter
Exemplo: \(x y''' + y''=0\)
Tomando \(p(x)=y''(x)\), obtemos a EDOL com a ordem duas unidades a menos:
Já vimos que \(p(x)=K/x\). Basta agora resolver a EDO:
Exemplo: \(x y^{(4)} - y^{(3)}= 0\)
Tomando \(p(x)=y'''(x)\), obtemos a EDO com a ordem três unidades a menos:
Como \(p(x)=K/x\), basta resolver a EDO:
Tomamos
para reduzir a EDO dada a uma outra equação de ordem \(n-k\) na variável dependente \(p\) e na variável índependente \(x\).
Tomamos \(p=y'\) para reduzir a ordem em \(1\) unidade e observar que em virtude da falta da variável \(x\), podemos pensar que \(p=p(y)\) e usando a regra da cadeia, podemos escrever:
assim
Exemplo: \(y'' + (y')^2 = 2 \exp(-y)\)
Tomamos \(y'=p(y)\) e \(y''= p(y) p'(y)\), para obter:
Usamos a substituição \(z(y) = p^2(y)\):
para garantir que:
Como esta é uma EDO linear, basta resolvê-la e voltar às variáveis originais.
Consideremos \(F(y,y',...y^{(n)})=0\) onde \(F\) é uma função homogênea apenas nas variáveis \(y\), \(y',\cdots,\) \(y^{(n)}\). Reduzimos a ordem desta EDO com a substituição:
ou seja
onde \(z=z(x)\) é uma função a ser determinada.
Exemplo: \(x^2 y y'' -(y-xy')^2 = 0\)
A função seguinte
é homogênea de grau 2 nas variáveis \(y\), \(y'\) e \(y''\), pois
Tomando \(y(x)=\exp(\int z(x)dx)\), obtemos:
Substituindo as novas variáveis na EDO dada e simplificando, obtemos:
que também pode ser escrita na forma:
Como a parte homogênea desta EDO linear é
basta resolver a EDO
cuja solução é
Supondo que \(A=A(x)\) no método da variação dos parâmetros, devemos obter uma função \(z_p=z_p(x)\) que seja uma solução particular para a EDO \(x^2 z' + 2x z = 1\).
Realmente, se \(z_p(x) = A(x) x^{-2}\), então
e substituindo estes dados na EDO \(x^2 z'+2xz=1\), obtemos
assim
e uma solução particular para esta última EDO é
Substituindo \(A(x)=x\) em \(z_p\), obtemos \(z_p(x) = A(x)x^{-2}=x^{-1}\). Assim, a solução da EDO linear \(x^2 z' + 2x z = 1\) é
Agora, devemos voltar às variáveis originais.