Equações Lineares

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma

a(x) y''+ b(x) y' + c(x) y = d(x)

onde a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) são funções conhecidas somente da variável independente x.

Exemplos de EDO lineares

(1) x²y" + sen(x)y' + exp(x)y = u(x)
(2) y" -7y' + 12y = cos(x)

Equações Lineares homogêneas

Para equações lineares de segunda ordem, se d(x) é diferente de zero, a equação linear será dita não homogênea e se d(x)=0 a equação linear será dita homogênea.

Exemplos de EDO lineares homogêneas

(1) x²y" + sen(x)y' + exp(x)y = 0
(2) y" -7y' + 12y = 0

Não confundir a palavra homogênea usada acima com a homônima, empregada quando se estuda equações diferenciais homogêneas de 1a. ordem através de funções homogêneas de grau zero.

Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI

O teorema de existência e unicidade de solução garante que a EDO linear de segunda ordem com as condições adicionais dadas abaixo:

a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = d(x)
y(x_o) = y_o , y'(x_o) = y₁

possui uma única solução, desde que as funções a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) sejam contínuas e a=a(x) seja não nula num intervalo real que contenha o ponto x_o.

Equações Lineares com coeficientes constantes

Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações diferenciais lineares, existe um grupo de equações muito importante que é formado pelas equações cujas funções coeficientes de y, y' e y'' são constantes e neste caso, escrevemos simplesmente:

a y'' + b y' + c y = d(x)

Para resolver este tipo de equação linear não homogênea, deve-se resolver primeiramente a equação linear homogênea associada a esta equação dada para obter y_h=y_h(x) e obter por algum procedimento matemático, uma solução particular da equação original y_p=y_p(x). A solução geral y=y(x) será a soma da solução da equação homogênea associada com a solução particular obtida, isto é:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

Solução de EDO homogênea com coeficientes constantes

Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a equação característica associada à mesma, que é dada por:

a r² + b r + c = 0

Obter as raízes da equação característica é equivalente a obter os autovalores do Operador Diferencial Linear:

L = a D² + b D + c I

Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos. Detalhando um pouco mais, observamos que quando os valores de a, b e c são reais, existem três possibilidades para a obtenção das raízes:

1. Duas raízes reais e distintas: Se r e s são raízes reais e distintas as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:

   {e^rx, e^sx}

   
   

2. Duas raízes reais e iguais: Se r é um autovalor real (multiplicidade 2), as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:

   {e^rx, x e^rx}

   
   

3. Duas raízes complexas conjugadas: Se r e s são raízes complexas conjugadas, digamos r=a+ib e s=a-ib, as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao Operador L, formam o conjunto:

   {e^axcos(bx), e^axsen(bx)}

É possível demonstrar que o conjunto formado por qualquer um dos pares de funções apresentados nos três casos é Linearmente Independente no espaço vetorial de todas as funções reais sobre o corpo dos números reais.

Mais importante ainda é que toda combinação linear destas funções também será solução da EDO linear:

a y'' + b y' + c y = 0

Se {f₁,f₂} é qualquer um dos conjuntos acima citados, a solução geral da EDO linear homogênea de segunda ordem será dada por:

y = c₁ f₁ + c₂ f₂

Equações Lineares não homogêneas

Existem vários métodos para obter uma solução particular de uma equação linear não homogênea, sendo que os dois mais usados são: Método dos coeficientes a determinar e Método da variação dos parâmetros.

Método dos Coeficientes a Determinar

Consideremos a EDO linear com coeficientes constantes:

a y'' + b y' + c y = d(x)

Conhecida a função d=d(x), nosso objetivo será o de obter uma solução particular y_p=y_p(x) que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto de funções linearmente independente capaz de gerar tanto a função d=d(x) como as funções y=y(x), y'=y'(x) e y''=y''(x).

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo:

1. Polinômio de grau n na variável independente

2. Múltiplo de uma função exponencial

3. Combinação linear de funções trigonométricas

4. Soma das formas anteriores

5. Produto das formas anteriores

Respectivamente, para cada caso, procuraremos soluções particulares das formas:

1. y_p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₂x²+a₁x+a_o

2. y_p(x)=k e^rx

3. y_p(x)=A cos(kx)+Bsen(kx)

4. y_p(x)=y₁(x)+y₂(x)

   onde y₁=y₁(x) é a solução obtida na primeira forma e y₂=y₂(x) é a solução obtida na segunda forma.

5. y_p(x)=y₁(x).y₂(x) onde y₁=y₁(x) é uma primeira forma e y₂=y₂(x) é uma segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já apareceram na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.

Exemplos: Seja L um operador diferencial linear com coeficientes constantes e uma EDO linear L(y)=d(x).

Método da Variação dos Parâmetros de Lagrange

Este método é muito mais poderoso que o método dos coeficientes a determinar, para a obtenção de uma solução particular de uma EDO ordinária linear uma vez que resolve equações com coeficientes variáveis.

O processo leva em consideração a solução obtida a partir da equação linear homogênea associada e trata a constante obtida como uma possível função do parâmetro x.

EDO de 1a. ordem: Iniciaremos mostrando como funciona o método para uma EDO linear de 1a. ordem, mesmo sabendo que existe uma outra forma mais fácil para resolver o problema.

Seja a equação y'-2y=5. A equação homogênea associada:

y' - 2y = 0

tem a solução geral

y(x) = A e^2x

Fazemos a suposição que A seja uma função de x, isto é, A=A(x) e procuraremos descobrir esta função para que

y(x) = A(x) e^2x

seja uma solução particular da equação original dada.

Para que isto ocorra, devemos realizar a derivada para escrever:

y'(x) = A '(x) e^2x + 2 A(x) e^2x

Substituindo esta última expressão na equação dada, teremos:

A '(x) e^2x + 2 A(x) e^2x - 2 A(x) e^2x = 5

Simplificando esta última equação, chegaremos a:

A '(x) = 5 e^-2x

que por integração nos garante que:

A(x) = -(5/2) e^-2x

logo, a solução particular será:

y(x) = A(x) e^2x = -(5/2) e^-2x e^2x = -5/2

A solução geral da equação y'-2y=5 é:

y(x) = C e^-2x - 5/2

EDO de 2a. ordem: Agora, considereramos uma EDO de 2a. ordem L(y)=d(x), sendo que a solução de L(y) = 0 será dada por:

y(x) = A y₁(x) + B y₂(x)

onde A e B são constantes reais.

O método consiste em fazer a suposição que A e B possam variar com a variável independente x, isto é que A=A(x) e B=B(x) e a partir daí é imposta uma condição de nulidade de uma expressão:

A '(x) y₁(x) + B '(x) y₂(x) = 0

que juntamente com a EDO dada, força que:

A '(x) y'₁(x) + B '(x) y'₂(x) = d(x)

A partir daí, monta-se um sistema de equações, que será escrito sem as variáveis, mas deve ficar claro que todas as funções envolvidas dependerão de x:

A ' y₁ + B ' y₂   =   0
A ' y₁ ' + B ' y₂ ' = d(x)

Com a regra de Cramer obtemos A' e B' e por integração obtemos A=A(x) e B=B(x). Finalmente obtemos uma solução particular para a equação original dada.

EDO de 3a. ordem: Seja agora uma EDO linear de 3a. ordem L(y)=d(x), com a solução de L(y)=0 dada por:

y(x) = A y₁(x) + B y₂(x) + C y₃(x)

sendo A, B e C constantes reais.

O método funciona com a suposição que A, B e C possam variar com a variável independente x, isto é que A=A(x), B=B(x) e C=C(x) e a partir daí são impostas duas condições de nulidade:

A ' y₁ + B ' y₂ + C ' y₃ = 0
A ' y₁ ' + B ' y₂ ' + C ' y₃ ' = 0

que juntamente com a EDO, força que:

A ' y₁ '' + B ' y₂ '' + C ' y₃ '' = d(x)

A partir daí, monta-se um sistema com 3 equações:

A ' y₁ + B ' y₂ + C ' y₃ = 0
A ' y₁ ' + B ' y₂ ' + C ' y₃ ' = 0
A ' y₁ '' + B ' y₂ '' + C ' y₃ '' = d(x)

Pela regra de Cramer ou outro método conhecido, podemos obter A ', B ' e C ' e a seguir integrar estas funções para obter A=A(x), B=B(x) e C=C(x) para finalmente obter uma solução particular para a equação original dada.

Exemplos:

1. Seja a EDO y''+4y=sen(x). A solução da equação homogênea associada é:

   y(x) = A cos(2x) + B sen(2x)

   Montamos então o sistema:

   A ' cos(2x) + B ' sen(2x) = 0
   A ' (-2sen(2x)) + B ' (2cos(2x)) = sen(x)

   Usando a regra de Cramer, obtemos A' e B':

   A '(x) = -½ sen(2x) sen(x)
   B '(x) = ½ cos(2x) sen(x)

   Integrando A ' e B ' sem a necessidade de acrescentar a constante de integração porque estamos procurando por "uma" solução), obtemos as funções A=A(x) e B=B(x).

2. A equação y''' = x¹⁰ é tal que a solução da equação homogênea associada pode ser escrita como:

   y(x) = A.1 + B.x + C.x²

   Montaremos o sistema:

   A '+ B ' x + C ' x² = 0
   B ' + C ' 2x = 0
   2 C ' = x¹⁰

   Dessa forma:

   C(x) = (1/22) x¹¹

   e podemos obter as outras funções por integrações simples e finalmente obter a função