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Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por:
Se a função \(f=f(x,y)\) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções \(M=M(x,y)\) e \(N=N(x,y)\), obtemos:
Em geral, usamos o sinal negativo antes de \(M(x,y)\):
para poder reescrever:
Exemplos de EDO::
Seja uma EDO \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\). Se \(M\) é uma função apenas da variável \(x\), isto é \(M=M(x)\) e \(N\) é função apenas da variável \(y\), isto é \(N=N(y)\), então a equação dada fica na forma:
esta EDO é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante simples.
Exemplo: A EDO \(y'=x/y\), está na forma normal e pode ser reescrita na sua forma diferencial \(xdx-ydy=0\), assim, \(xdx=ydy\), então integrando cada termo de forma independente, obtemos:
e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos:
Esta relação (que não é uma função) satisfaz à EDO dada.
Uma função \(f=f(x,y)\) é homogênea de grau \(k\) se, para todo \(t\) real, tem-se que:
Uma função \(f=f(x,y)\) é homogênea de grau \(0\) se, para todo \(t\) real, se tem que:
Exemplos: Funções homogêneas
Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador também possuem um mesmo grau.
Uma EDO na forma normal \(y'=f(x,y)\) é homogênea se a função \(f=f(x,y)\) é homogênea de grau zero.
Exemplos de EDO homogêneas:
Resolvemos uma EDO homogênea, transformando-a em uma EDO com variáveis separáveis com a substituição \(y(x)=x\;v(x)\) onde v=v(x) é uma nova função incógnita.
Se \(y(x)=x\;v(x)\) então \(dy=xdv+vdx\). Assim, uma equação da forma \(y'=f(x,y)\) pode ser transformada em uma equação separável da forma:
e após algumas mudanças obtemos uma equação com variáveis separáveis.
Exemplo: A EDO \(y'=(x^2+y^2)/xy\) pode ser transformada em uma EDO separável com \(y=xv\) e \(y'=x\;v'+v\), para obter a sequência de operações:
que se escreve
cuja simplificação é
que pode ser posta na forma
de onde obtemos
Integrando ambos os membros, obtemos \(v^2=2\ln(x)+C\), logo:
Na sequência usamos a notação \(M_x\) para a derivada parcial da função \(M=(x,y)\) em relação à variável \(x\). Seja uma equação na forma diferencial \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\). Esta EDO é exata se existe uma função \(F=F(x,y)\) cuja diferencial exata \(dF=F_x dx+F_y dy\) coincide com o termo da esquerda da EDO:
isto é:
Estudando propriedades de diferenciabilidade das funções \(M\) e \(N\), podemos ter um outro critério para a garantia que esta equação é exata.
Dizemos que a equação \(Mdx+Ndy=0\) é exata se: \(M_y = N_x\).
Exemplos:
Seja uma equação diferencial da forma
Vamos considerar que todas as condições necessárias para poder resolver esta equação sejam satisfeitas.
O melhor que podemos fazer quando \(a_0(x)\neq 0\), é dividir todos os termos da equação por a_0(x) para obter:
Um bom método para resolver esta equação de uma forma geral é multiplicar ambos os membros da equação por uma função \(M=M(x)\) denominado Fator Integrante de tal modo que o termo da esquerda da nova equação:
seja a diferencial da função \(M(x)y(x)\), isto é:
mas para que isto ocorra, a função \(M=M(x)\) deve satisfazer à condição:
que equivale a \(M'(x)y(x)=M(x)p(x)y(x)\), mas se y(x)0, esta equação é equivalente à forma mais simples \(M'(x)=M(x)p(x)\).
Resolvendo primeiro esta última equação diferencial, obtemos:
Denotando a integral da função \(p=p(x)\) (minúscula) por \(P=P(x)\) (maiúscula), podemos escrever a função multiplicadora por
\(M(x) =\exp[P(x)]\). Multiplicando os membros desta equação por
\(\exp[P(x)]\), obtemos:
O membro da esquerda é a derivada de \(y(x)\exp[P(x)]\) em relação à variável \(x\), assim podemos escrever:
Integrando ambos os membros da igualdade, obteremos:
e dessa forma temos uma expressão para \(y=y(x)\):
Exemplo: Para a EDO \(y'+2xy=x\), \(p(x)=2x\) e \(q(x)=x\), logo a solução depende de \(P(x)=x^2\) e assim:
logo
ou seja, a solução da EDO dada é:
Obter soluções para equações diferenciais não lineares é difícil porém existem algumas equações que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os tipos mais comuns de tais equações são:
Equação de Bernoulli: É uma equação diferencial não linear da forma
Ao tomar a substituição \(w=y^{1-n}\), observamos que \(w\) depende indiretamente da variável x e teremos a equação:
que é uma EDO linear de primeira ordem.
Equação de Riccati: É uma equação diferencial não linear da forma
Aqui, um fato grave é que não é possível resolver tal equação se não pudermos apresentar uma solução particular para a mesma, assim tomamos \(y_p\) uma solução particular de
e construímos uma nova função z definida por:
Com alguns cálculos simples, obtemos:
que é uma EDO linear na variável z. Após resolvida esta última, voltamos à variável original y, com a relação:
Exemplos: Para resolver a equação de Riccati \(y'=-2-y-y^2\), tomamos \(y(x)=2\) que é uma solução particular para a EDO dada, realizamos a substituição: \(z=1/(y-2)\) com \(y'=-z'/z^2\), para obter a equação linear em \(z\):
cuja solução é:
e com alguns poucos cálculos podemos voltar à variável y para obter a solução procurada.
Exercício: Resolver a EDO não linear \(2xy\;y'+(x-1)y^2=x^2\exp(x)\), usando a substituição: \(y^2=xz\).