Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Números Racionais

Tomando o axioma M4, que afirma que todo número real diferente de zero, possui um inverso multiplicativo, temos o conjunto dos números racionais, que é um outro subconjunto muito importante do conjunto dos números reais:

Nota: A palavra racional provém do Latim ratio=razão também entendida em Matemática como divisão. Usamos a barra \(/\) para entender o sinal de divisão \(\div\).

Exemplos de números racionais:

2 Números Irracionais

O conjunto \(I\) dos números Irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais:

Embora os números racionais e os irracionais sejam apresentados como conceitos simples, às vezes não é fácil verificar se um certo número real \(x\) é racional ou irracional.

Como exemplos de números irracionais, sempre nos apresentaram números especiais como:

mas provar que tais números são irracionais, é uma outra história muito mal contada.

A escola de Pitágoras (580-500 a.C) já sabia que não existia um número racional \(x\) com a propriedade que:

Nota: Lembramos que estamos introduzindo os números reais diretamente, apresentando um conjunto de axiomas que os caracterizam e verificamos que este conjunto deve conter os números naturais, os números inteiros, os números racionais e também os números irracionais.

No Ensino Fundamental, a criança começa tomando contato com os números naturais, depois com os números inteiros, e então com os números racionais, etc.

Detalhes sobre os números racionais e números irracionais

1. O conjunto dos números racionais é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), isto é, para quaiquer \(x,y\in Q\):
   1. \(x+y\in Q\)
   2. \(x-y\in Q\)
   3. \(x\times y\in Q\)
   4. \(x\div y\in Q\), se \(y\neq 0\)
2. O conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, pois podemos apresentar exemplos de números irracionais para os quais estas operações não são fechadas em I.
   1. \(a=\sqrt{2}\in I\) e \(b=-\sqrt{2}\in I\), mas \(a+b=0\not\in I\).
   2. \(a=\sqrt{2}\in I\) e \(b= \sqrt{2}\in I\), mas \(a-b=0\not\in I\).
   3. \(a=\sqrt{2}\in I\) e \(b= \sqrt{2}\in I\), mas \(a*b=2\not\in I\).
   4. \(a=\sqrt{2}\in I\) e \(b= \sqrt{2}\in I\), mas \(a/b=1\not\in I\).
3. Se \(a\) é um número irracional e \(r\) é um número racional, então, os números abaixo são irracionais, isto é:
   1. \(-a\in I\)
   2. \(a^{-1}\in I\)
   3. \(a+r\in I\)
   4. \(a-r\in I\)
   5. \(a*r\in I\)
   6. \(a÷r\in I\)
4. Um polinômio de grau \(n\) natural, é uma expressão matemática da forma:
   \[p_n(x) = c_n x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2x^2+c_1x^1+c_0\]
   onde \(c_n \neq 0\).
5. Uma equação polinomial de grau \(n\) natural, na variável \(x\) é uma expressão matemática da forma:
   \[c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2x^2+c_1x^1+c_0=0\]
   sendo \(c_n\neq 0\), \(c_{n-1},\cdots\), \(c_2\), \(c_1\), \(c_0\) os seus coeficientes.
6. A raiz de uma equação na variável \(x\) é um número que substituído por \(x\), satisfaz à equação dada;
7. Se a equação
   \[c_n x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2 x^2+c_1x^1+c_0=0\]
   tem como coeficientes somente números inteiros, e, se esta equação tem uma raiz racional irredutível da forma \(a/b\) (a fração não pode ser simplificada mais), então \(a\) será um divisor de \(c_0\) e \(b\) será um divisor de \(c_n\).
8. Como um caso particular do item anterior, se a equação possui o coeficiente igual a \(1\) para o termo de mais alto grau, isto é:
   \[1*x^n + c_{n-1} x^{n-1} +\cdots+c_2 x^2+c_1 x^1+c_0 = 0\]
   e esta equação somente tem como coeficientes números inteiros e possui uma raiz racional, então esta raiz deve ser um número inteiro que divide \(c_0\).

Nota: Com os oito itens apresentados acima, podemos construir um enorme conjunto de números irracionais.

Dado histórico: No Curso Médio estuda-se o conjunto dos números complexos, que é mais amplo que todos os conjuntos tratados até aqui. Um grande equívoco é pensar que as teorias destes conjuntos tenha sido feita, de uma forma acabada, nesta mesma ordem que estamos apresentando.

No século XVI, os matemáticos já lidavam com números complexos. O método de Tartaglia (publicado no livro Ars Magna como sendo de Cardano) para a resolução de equações do terceiro grau, foi o grande elemento motivador para o estudo destes números e também de equações algébricas. Mas foi somente no final do século XIX que a teoria de cada um destes conjuntos ficou consolidada.

Vamos retornar ao conjunto dos números positivos para estabelecer duas convenções muito importantes.

3 Convenções com desigualdades

1. Dado \(x\in R\), escrevemos:
   1. \(x > 0\), se \(x\in P\) (\(x\) é positivo)
   2. \(x < 0\), se \(-x\in P\) (\(x\) é negativo)
   3. \(x\geq 0\), se \(x\in P\) ou \(x=0\) (\(x\) é não negativo)
   4. \(x\leq 0\), se \(-x\in P\) ou \(x=0\) (\(x\) é não positivo)
2. Dados \(x\in R\) e \(y\in R\), escrevemos:
   1. \(x > y\), se \(x-y > 0\) (\(x\) é maior do que \(y\))
   2. \(x < y\), se \(x-y < 0\) (\(x\) é menor do que \(y\))
   3. \(x\geq y\), se \(x-y\geq 0\) (\(x\) é maior ou igual a \(y\))
   4. \(x\leq y\), se \(x-y\leq 0\) (\(x\) é menor ou igual a \(y\))

4 Intervalos reais

Intervalos finitos: Com estas últimas convenções podemos definir os conceitos de intervalo e da importante função modular.

Podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo cheio onde vale a igualdade.

Intervalos infinitos: Definimos o intervalo \((a,\infty)\) como o conjunto de todos os números reais maiores do que \(a\), isto é:

e também os intervalos:

e uma notação comum é

5 Módulo de um número real

O módulo (valor absoluto) de um número real \(x\), é definido como o maior valor (máximo) entre \(x\) e \(-x\), isto é:

ou usando a função raiz quadrada, por:

ou ainda por:

Exemplos: \(|+5|=5\), \(|0|=0\) e \(|-6|=6\).

O conceito de módulo de um número real realiza um papel de fundamental na Análise Matemática e são valiosas algumas relações de igualdade e desigualdade onde aparecem os módulos.

Teorema: Quaisquer que sejam \(x,y\in R\), tem-se que:

1. \(|+x| = |-x|\)
2. \(|x-y| = |y-x|\)
3. \(|x*y| = |x|*|y|\)
4. \(-|x| \leq x \leq |x|\)
5. \(|x+y| \leq |x|+|y|\)
6. \(|x-y| \leq |x|+|y|\)

Nota: Nem sempre é verdadeira a igualdade \(|x+y|=|x|+|y|\).

6 Distância entre números reais

O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade entre dois números reais.

Dados \(x,y\in R\), define-se a distância entre \(x\) e \(y\) como:

Exemplo: \(d(-3,+7)=|(-3)-(7)|=|-10|=10\).

Com as desigualdades podemos construir a relação de ordem total sobre \(R\):

com as seguintes propriedades:

1. Reflexiva: Para todo \(x\in R\): \(x \leq x\).
2. Anti-simétrica: Se \(x\leq y\) e \(y\leq x\), então: \(x = y\).
3. Transitiva: Se \(x\leq y\) e \(y\leq z\), então: \(x \leq z\).
4. Dicotomia: Dados \(x,y\in R\), ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: \(x \leq y\) ou \(x \geq y\).
5. Monotonicidade da adição: Se \(x\leq y\), para todo \(z\in R\), tem-se: \(x+z \leq y+z\).
6. Monotonicidade do produto: Se \(x\leq y\) e \(z\geq 0\), tem-se: \(x \cdot z \leq y \cdot z\) mas se \(z\leq 0\), então \(x \leq y\) implica \(x \cdot z \geq y \cdot z\).

As duas últimas propriedades expressam o fato que a relação de ordem \( < \) considerada é compatível com a estrutura de corpo de \(R\).

A última propriedade é muitas vezes motivo de tropeços para muitos alunos e professores, em especial na resolução de desigualdades e pela sua importância, faremos a sua demonstração.

Se \(x=y\in R\) e \(z=0\), a relação é verdadeira, pois \(0 \cdot x=0\), logo, para todo \(z\in R\).

Se \(x < y\) e \(z > 0\), obtemos \(y-x\in P\) e \(z\in P\). Pela propriedade P1, temos:

e pela propriedades distributiva:

ou seja:

Prove a outra parte como exercício.

7 Conjunto Solução para uma Proposição

É o conjunto de todos os valores que satisfazem à proposição dada, sendo que este conjunto depende do universo que estamos trabalhando.

Exemplo: Consideremos

O conjunto solução no conjunto \(R\) dos números reais tem dois elementos e é dado por:

mas o conjunto solução no conjunto \(N\) dos números naturais é um conjunto unitário, dado por:

Dada uma desigualdade, é importante obter o conjunto solução \(S\) que satisfaz a esta desigualdade, isto é, obter o conjunto de todos os números reais que satisfazem à desigualdade dada e indicar o resultado na forma de um intervalo real ou através da reunião ou interseção de intervalos reais.

Exemplo 1: Para resolver a desigualdade real \(5x+15 > 0\), somamos o número \(-15\) a ambos os termos da desigualdade:

para obter

Dividindo ambos os termos por 5, obtemos

Assim, o Conjunto Solução é:

Exemplo 2: Para resolver as desigualdades \(12 < 5x+15\leq 25\), no conjunto dos números reais, podemos somar \(-15\) a todos os termos das desigualdades, para obter

Simplificando, obtemos

Dividindo todos os termos das desigualdades por \(5\):

Simplificando, obtemos finalmente

logo o Conjunto Solução será:

8 Representação gráfica da reta

A relação de ordem total \(x\leq y\) se \(y-x\geq 0\) que existe em \(R\) e o fato de \(R\) ser completo, permitem identificar o conjunto dos números reais com os pontos de uma reta, fato conhecido por representação gráfica da reta real.

Esta representação é uma linha reta onde se identifica um ponto, denominado origem, com o número zero \(0\) e outro ponto, tomado por unidade, com o número um \(1\) e a partir daí indicam-se os outros valores numéricos, dependendo de sua grandeza em relação à unidade.

9 Definição de Raiz Quadrada

Existe um terceiro axioma que caracteriza o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo. Deste axioma é possível obter as propriedades mais importantes do Cálculo e na verdade, se este fato não fosse verdadeiro, pouco restaria dos conhecidos Teoremas do Cálculo Diferencial e Integral.

Infelizmente, o enunciado deste axioma exige tantos requisitos que ele só pode (e deve) ser trabalhado com cuidado em um curso mais avançado de Cálculo Diferencial e Integral ou Análise Matemática.

Mostramos aqui algumas consequências deste axioma, como por exemplo, o conceito de raiz quadrada.

Por \(R\) ser completo um fato importantíssimo é o seguinte: Dado um número real não negativo \(a\), existe um único número real não negativo \(x\) tal que

Por definição, este número real não negativo é a raiz quadrada de \(a\) e assim, dado \(a\geq 0\), define-se a raiz quadrada de \(a\), como:

sendo \(x\geq 0\) e \(x^2=a\).

Portanto, \(\sqrt{4}=2\) e é errado afirmar que \(\sqrt{4}= \pm 2\).

Uma consequencia desta definição e da definição de módulo de um número real, é a seguinte:

Dado um número real x qualquer, podemos redefinir então o módulo de um número real de uma terceira forma, através do uso da raiz quadrada. Você conseguiria fazer isto?

O conceito de raiz quadrada permite a criação de duas funções reais, definidas sobre o conjunto \([0,\infty\)) por:

De modo análogo podemos definir a raiz \(n\)-ésima de um número real não negativo \(a\), como:

se e somente se \(b \geq 0\) e \(b^n=a\) e o número \(b\) que pode posto na forma

onde \(n\) é um número inteiro.

Referências bibliográficas

1. Halmos,P.R. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Editora Polígono, São Paulo, 1970.
2. Niven,I. Números Racionais e Irracionais, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, Rio, 1984.
3. White,A.J. Análise Real: uma introdução. EDUSP, São Paulo, 1973.