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Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por \(F(x,y)=0\) de uma forma implícita, apresentamos dois exemplos numéricos com funções conhecidas.
Exemplo: Seja a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por:
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima).
Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de \(y=y(x)\) e a dificuldade é obter de forma explícita \(y=y(x)\). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função \(y=y(x)\) é muito complicada.
Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar \(y=y(x)\), como por exemplo, \(y(x)=\text{sen}(y(x))\).
Para contornar estes problemas, usamos a derivação da função definida implicitamente pela curva:
Para obter a derivada implícita, supomos que existe \(y=y(x)\) de modo que ao substituir \(y\) por \(y(x)\), passamos a ter apenas uma função da variável \(x\). A derivada implícita desta função é:
Simplificando, obtemos
Desta relação, já obtemos a derivada \(y'=y'(x)\):
Os pontos críticos \(x_0\) são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, \(y'(x_0)=0\). Assim, existe uma solução trivial \(P=(0,0)\), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada.
Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:
Este sistema fornece o ponto crítico \(Q=(x_0,y_0)\), dado por:
Para evitar as frações, usamos a expressão:
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos:
Tomando esta relação no ponto \(x=x_0\) e considerando que \(y'(x_0)=0\), a expressão fica bem simples:
Substituindo os valores de \(x_0\) e \(y_0\), obtemos:
Logo, \(x_0=a\sqrt[3]{2}\) é um ponto de máximo e \(y_0=a\sqrt[3]{4}\) é o valor máximo de \(y=y(x)\).
Exemplo: Seja a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por
Desejamos obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar \(y=y(x)\). A fórmula quadrática (que não é de Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de \(y=y(x)\) fica complicada. Obtemos as duas primeiras derivadas de \(y=y(x)\), usando o processo de derivação implícita.
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos supor que existe \(y=y(x)\) de modo que substituindo \(y\) por \(y(x)\), tenhamos apenas uma função da variável \(x\).
A derivada implícita desta função é:
Simplificando, obtemos
Desta relação, obtemos a derivada:
Os pontos críticos \(x_0\) são os que anulam a primeira derivada, isto é, \(y'(x_0)=0\). Assim, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema:
Este sistema fornece os pontos \(P=(-1,2)\) e \(Q=(1,-2)\).
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:
O ponto \(P=(-1,2)\) é ponto de máximo, pois \(y''(-1) = - 2/3 < 0\).
O ponto \(Q=(1,-2)\) é ponto de mínimo, pois \(y''(1) = 2/3 > 0\).
Seja uma função definida implicitamente por \(F(x,y)=0\). Como nem sempre é possível explicitar \(y=y(x)\) tal que \(F(x,y(x))=0\), utilizamos derivadas parciais de \(F\) com relação a \(x\) e de \(F\) com relação a \(y\), denotadas respectivamente por \(F_x\) e \(F_y\), para realizar a derivada implícita da função para obter:
Esta última relação pode ser simplificada na forma:
donde segue que
Usando a relação \(F_x+F_y y'=0\), podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:
Como nos pontos críticos \(P=(x_0,y_0)\), temos que \(y'(x_0)=0\), então:
e assim temos que
Conclusão: Seja \(P=(x_0,y_0)\) um ponto crítico para \(y=y(x)\) que fizemos a suposição que a forma explícita da função \(F(x,y)=0\), isto é, \(y'(x_0)=0\).