Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Aplicações numéricas de Extremos

1. Determinar números \(x > 0\) e \(y > 0\), cujo produto seja igual a \(12\) mas a soma \(x+y\) seja a menor possível.
   Solução: Considere \(xy=12\) e \(S(x,y)=x+y\). Substitua o valor de \(y\) na função \(S=S(x,y)\), para ter apenas uma variável na função, dada por: \(S(x)=x+\frac{12}{x}\) sobre o intervalo \([1,12]\) e a sua derivada é dada por: \(S'(x)=\frac{x^2-12}{x^2}\). Os pontos críticos são \(x=2\sqrt{3}\) em \([1,12]\) e \(x=-2\sqrt{3}\). Este último, não serve aos nossos propósitos. O valor mínimo de \(S\) é \(S(2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\).
2. Determinar números positivos \(x\) e \(y\), cujo produto seja igual a \(P\) mas cuja soma seja a menor possível.
   Dica: Repetir o exercício anterior com \(P\) no lugar de \(12\).
3. Determinar números inteiros não negativos \(x\) e \(y\), cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a \(12\).
   Solução: \(x+y=12\), \(P(x)=x.y=x(12-x)=12x-x^2\)
   De modo simples, podemos decompor o número 12, em: \[\begin{array}{rl} 12 &= 0+12 = 1+11 = 2+10 = 3+9 \\ &= 4+8 = 5+7 = 6+6 = 7+5 = 8+4 \\ &= 9+3 = 10+2 = 11+1 = 12+0 \end{array}\] \(P=P(x)=x(12-x)\) representa uma parábola que passa pelos pontos \((0,0)\), \((12,0)\) e \((6,36)\) e tem a concavidade (boca) voltada para baixo. \[\begin{matrix} P(0)=P(12) &=\;0 \\ P(1)=P(11) &=11 \\ P(2)=P(10) &=20 \\ P(3)=P(9) &=27 \\ P(4)=P(8) &=32 \\ P(5)=P(7) &=35 \end{matrix}\] \(P(6)=36\) é o valor máximo para o produto e \(x=y=6\) é a resposta procurada.
   Derivando \(P(x)=12x-x^2\) obtemos \(P'(x)=12-2x\). O ponto crítico é \(x=6\), \(P''6)=-2 <0\), logo, \(P(6)=36\) é o valor máximo para o produto \(P\).
4. Determinar números inteiros \(x > 0\) e \(y > 0\), cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a \(S\).
   Dica: Repetir o exercício anterior com \(S\) no lugar de \(12\).
5. Se \(x > 0\), \(y > 0\) e \(z > 0\) são números reais, mostrar que a média harmônica é dominada pela média geométrica, que por sua vez é dominada pela média aritmética, isto é:
   \[\dfrac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \leq \sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}{3}\]
6. Se \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0,\cdots\), \(x_n > 0\) são \(n\) números reais positivos, então
   \[\dfrac{n}{\frac{1}{x_1}{+}\frac{1}{x_2}{+}\cdots{+}\frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \leq \dfrac{x_1{+}x_2{+}\cdots{+}x_n}{n}\]