Matemática Essencial

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1 Concavidade

A primeira derivada de uma função é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em cada ponto onde a deriva existe, sendo assim, se a derivada segunda também existir nesses pontos.

1. Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da curva \(y=f(x)\) crescem à medida que \(x\) cresce, \(f''(x)>0\) e a concavidade (boca) da função é voltada para cima.
2. Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da curva \(y=f(x)\) decrescem à medida que x cresce, \(f''(x)<0\) e a concavidade (boca) da função é voltada para baixo.

Utilizando estas idéias podemos estabelecer o seguinte

Teorema: Se \(f\) é uma função que possui as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto \(S\), temos as situações abaixo:

1. Se \(f''(x)>0\) em \(x\in S\), então o gráfico de \(f\) tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de \(x\).
2. Se \(f''(x)<0\) em \(x\in S\), então o gráfico de \(f\) tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de \(x\).

2 Uso da segunda derivada para máximos e mínimos

Seja \(f\) uma função derivável sobre um conjunto \(S\), tal que a sua derivada \(f'\) seja uma função contínua e vamos supor que \(f\) possui um ponto crítico \(x=c\in S\), isto é, \(f'(c)=0\).

1. Se \(f''(c)<0\) então \(x=c\) é um ponto de máximo para \(f\).
2. Se \(f''(c)>0\) então \(x=c\) é um ponto de mínimo para \(f\).

Exemplo: As funções \(f(x)=1-x^2\) e \(g(x)=x^2\), definidas sobre \(S=[-1,2]\) possuem pontos críticos em \(x=0\). \(f''(0)=-2<0\) e \(g''(0)=2>0\). Pelo critério da segunda derivada, \(x=0\) é ponto de máximo local para \(f\) e ponto de mínimo local para \(g\).

\(f(x)=1-x^2\)	\(g(x)=x^2\)

Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.

3 Uso da n-ésima derivada para máximos e mínimos

Se \(f\) é uma função que possui todas as \(n\) primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto \(S\), \(f\) possui um ponto crítico \(c\) em S, isto é, \(f'(c)=0\) e que além disso

então:

1. Se \(n\) é par e \(f^{(n)}(c)<0\), \(x=c\) é ponto de máximo local para \(f\).
2. Se \(n\) é par e \(f^{(n)}(c)>0\), \(x=c\) é ponto de mínimo local para \(f\).
3. Se \(n\) é ímpar e \(f^{(n)}(c)\neq 0\), \(x=c\) não é ponto de mínimo para \(f\), nem ponto de máximo para \(f\). Este ponto \(x=c\) recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a função \(f\).

Exemplos

1. \(f(x)=x^4\) definida sobre \([-2,2]\), tem ponto crítico \(x=0\) que é ponto de mínimo local, pois:
   \[f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0, f^{(iv)}(0)=24\]
2. \(f(x)=x^5\) definida sobre \([-2,2]\), tem ponto crítico \(x=0\) que é um ponto de inflexão horizontal, pois:
   \[f'(0){=}f''(0)=f'''(0){=}f^{(iv)}(0){=}0, f^{(v)}(0)=120\]
3. \(f(x)=-x^6\) definida sobre \([-2,2]\), tem ponto crítico \(x=0\) que é um ponto de máximo local, pois:
   \[f'(0){=}f''(0){=}f'''(0){=}f^{(iv)}(0){=}f^{(v)}(0){=}0, f^{(vi)}(0){=}-720\]

4 Ponto de inflexão horizontal

Um ponto de inflexão horizontal, para uma função \(f\) que tem as duas primeiras derivadas contínuas e que está definida sobre um conjunto \(S\), é um ponto \(x=c\in S\) tal que à esquerda dele a concavidade do gráfico de \(f\) está voltada para baixo e à direita de \(x=c\) a concavidade da curva está voltada para cima. A situação ainda ocorre se trocarmos as palavras: para baixo e para cima.

A palavra horizontal significa que passando uma reta horizontal pelo ponto de coordenadas \((c,f(c))\), a parte do gráfico localizada à direita de \(x=c\) fica de um lado da reta e a parte da curva localizada à esquerda de \(x=c\) fica do outro lado da reta. É equivalente dizer que a reta tangente ao gráfico da função neste ponto é horizontal.