Matemática Essencial

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Para obter pontos de extremos (máximo ou mínimo) de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.

1 Ponto crítico de uma função derivável

Ponto crítico de uma função derivável \(f\) é um ponto \(x=c\) do domínio de \(f\) no qual \(f'(c)=0\).

Exemplo: \(f(x)=x^2\), definida sobre \([-1,2]\), possui \(x=0\) como ponto crítico, pois \(f'(0)=0\).

2 Teorema (Pierre Fermat)

Se uma função \(f\) possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em \(x=c\) e a função \(f\) é derivável neste ponto, então \(x=c\) é um ponto crítico de \(f\), isto é, \(f'(c)=0\).

Notas:

1. Pelo teorema, se \(x=c\) é um ponto de extremo local para \(f\), a derivada de \(f\) se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva \(y=f(x)\) no ponto \((c,f(c))\).
2. Existem funções com um ponto crítico em \(x=c\), o qual não é ponto de máximo nem de mínimo local para \(f\), como a função \(f(x)=x^3\) definida sobre a reta, \(x=0\) é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para \(f\).
3. Se os pontos de extremos locais para \(f\) estiverem nas extremidades do domínio de \(f\), as derivadas laterais de \(f\) podem existir e não se anular. A função \(f(x)=1-x^2\), definida sobre \(S=[-1,2]\) possui três extremos. \(x=-1\) e \(x=2\) são pontos de mínimo local e \(x=0\) é um ponto de máximo local, mas \(f'(-1)=2\) e \(f'(2)=-4\).

Existe um critério que usa a primeira derivada para identificar se um ponto localizado no interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para \(f\).

Este critério se baseia nas seguintes ideias:

1. Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos.
2. Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos.
3. Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero.
   
   

3 Critério da primeira derivada

Seja \(f\) uma função derivável sobre um conjunto \(S\), que possui um ponto crítico \(x=c\) no seu interior, isto é, \(f'(c)=0\).

1. Se \(f'(x)>0\) à esquerda de \(x=c\) e \(f'(x)<0\) à direita de \(x=c\), então \(x=c\) é um ponto de máximo para \(f\).
2. Se \(f'(x)<0\) à esquerda de \(x=c\) e \(f'(x)>0\) à direita de \(x=c\), então \(x=c\) é um ponto de mínimo para \(f\).

Exemplos:

1. Seja a função \(f(x)=1-x^2\) definida sobre \(S=[-1,2]\). \(f'(x)=-2x\), assim o único ponto crítico ocorre em \(x=0\). \(f'(x)>0\) se \(x<0\) e \(f'(x)<0\) se \(x>0\), assim, \(x=0\) é um ponto de máximo local para \(f\).
2. Seja a função \(f(x)=x^2\) definida sobre \(S=[-1,2]\). \(g'(x)=2x\), assim o único ponto crítico ocorre em \(x=0\). \(g'(x)>0\) se \(x<0\) e \(g'(x)<0\) se \(x>0\), assim, \(x=0\) é um ponto de mínimo local para \(f\).

Notas:

1. Nem todo ponto crítico de uma função é ponto de extremo dessa função, como é o caso de \(f(x)=x^3\), definida sobre \(S=[-2,2]\). \(f'(x)=3x^2\). O ponto crítico é \(x=0\). À esquerda e também à direita de \(x=0\), a derivada é positiva, logo, \(x=0\) não pode ser ponto de máximo local nem ponto de mínimo local para \(f\).
2. O critério da primeira derivada, pode ser escrito na forma: Se \(f\) é uma função derivável sobre um intervalo \([a,b]\) e existe um ponto \(x=c\) no intervalo aberto \((a,b)\) para o qual \(f'(c)\neq 0\), então este ponto \(x=c\) não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para \(f\).

4 Teorema do Valor Máximo (Karl Weierstrass)

Se \(f\) é uma função contínua sobre um intervalo fechado e limitado \([a,b]\), então \(f\) assume o seu valor máximo \(M\) e também o seu valor mínimo \(m\), no intervalo \([a,b]\). Isto é o mesmo que garantir a existência de valores \(x_1\) e \(x_2\) em \([a,b]\) tal que para todo \(x\in[a,b]\):

5 Notas e exemplos

1. O critério da primeira derivada e o Teorema do Valor Máximo garantem que para um ponto ser extremo de uma função derivável no intervalo fechado \([a,b]\), tais pontos devem ser as extremidades \(x=a\) e \(x=b\) ou os pontos \(x\in(a,b)\) para os quais \(f'(x)=0\). Tais pontos de extremo nem sempre são detectados com o critério da primeira derivada.
2. Se a função é contínua mas não é derivável em um ponto \(x=c\), podemos estudar o extremo da função neste ponto onde não existe a derivada de \(f\), pois ocorre a formação de um bico no gráfico de \(f\) ou existe uma tangente vertical ao gráfico de \(f\) neste ponto.
3. A função modular \(f(x)=|x|\) definida sobre \(S=[-1,1]\) possui um ponto crítico em \(x=0\in S\) mas não existe a derivada de \(f\) neste ponto.
4. \(f(x)=\text{sen}(x)\) definida sobre \([-\pi,\pi]\), possui máximo em \(x=-\pi\) e \(x=\pi/2\) e mínimo em \(x=-\pi/2\) e \(x=\pi\).
5. \(f(x)=1/x\) definida sobre \(S=(0,1]\), possui um ponto de mínimo em \(x=1\), mas sobre \(S\) não tem ponto de máximo.
6. \(g(x)=-1/x\) definida sobre \(S=(0,1]\), tem um ponto de máximo em \(x=1\) mas sobre \(S\) não tem ponto de mínimo.
7. \(f(x)=x+1/x\) definida sobre \(S=[-1,1]\) com \(f(0)=0\), não possui derivada em \(x=0\), seus valores extremos ocorrem em \(x=-1\) (ponto de máximo) e \(x=1\) (ponto de mínimo).
8. \(f(x)=x+1/x\) definida sobre \(S=[-3,3]\) com \(f(0)=0\), não possui derivada em \(x=0\), seus pontos críticos são \(x=-1\) e \(x=1\). \((-1,-2)\) é um ponto de máximo relativo e \((1,2)\) é um ponto de mínimo relativo.

6 Teorema de localização

Se \(f\) é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado \([a,b]\), então \(f\) assume o seu valor máximo (ou mínimo):

1. Nas extremidades do intervalo \([a,b]\), ou
2. Em pontos críticos de \(f\), ou
3. Em pontos onde a derivada de \(f\) não existe.