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Uma vizinhança aberta de um ponto \(x=c\) é um intervalo aberto da forma \(V_c=(c-r_1,c+r_2)\) onde \(r_1>0\) e \(r_2>0\) são números reais pequenos. Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto \(x=c\), é construir um intervalo simétrico centrado em \(x=c\) e com raio \(r>0\), denotado por \(V_c=(c-r,c+r)\) onde \(r>0\) é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. A distância entre os números reais \(x\) e \(y\) é tomada aqui como \(d(x,y)=|x-y|\).
Em estudos mais aprofundados, existem muitas outras formas de medir distâncias, mas aqui iremos considerar a forma citada acima.
Exemplo: Os intervalos \(A=(-0.2,0.1)\) e \(B=(-0.1,0.1)\) são vizinhanças abertas de \(x=0\), mas \(C=(0,0.1)\) não é uma vizinhança aberta de \(x=0\) pois \(0\) não pertence a \(C\).
Ponto interior de um conjunto: Um ponto \(x=c\) é denominado ponto interior de um conjunto \(S\), se existe uma vizinhança aberta do ponto \(x=c\), inteiramente contida no conjunto \(S\).
Exemplo: \(x=5\) é um ponto interior dos conjuntos: \(A=[0,10)\) e \(B=(-6,8)\), mas não é ponto interior do conjunto \(C=[5,7)\) pois é uma extremidade de \(C\).
Interior de um conjunto: O interior de um conjunto \(S\) é a coleção de todos os pontos de \(S\) para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto \(S\).
Exemplo: \((a,b)\) é o interior dos conjuntos \([a,b]\), \([a,b)\), \((a,b]\) e de \((a,b)\).
Seja \(f\) uma função definida sobre um conjunto \(S\). O valor máximo (máximo global) para \(f\) sobre o conjunto \(S\), é um número real \(M\), denotado por
Isto é, para todo \(x\in S\), temos que \(f(x)\leq M\) e além disso, existe um ponto \(c\in S\) tal que \(f(c)=M\). O ponto \(x=c\) é o ponto de máximo (global) e \(M\) é o valor máximo para \(f\) sobre o conjunto \(S\).
Exemplo: A função quadrática definida por \(f(x)=1-x^2\) sobre o intervalo \(S=[-1,1]\), possui um ponto de máximo global em \(x=0\) e o valor máximo de \(f\) sobre \(S\) é \(f(0)=1\).
Seja \(f\) uma função definida sobre um conjunto \(S\). Uma função \(f\) possui um ponto de máximo local (relativo) sobre o conjunto \(S\), se existe um ponto \(c\in S\), existe uma vizinhança aberta \(V_c\) contida em \(S\) e existe um número real \(M_c\) tal que
Assim, para todo \(x\) na vizinhança \(V_c\), temos que \(f(x)\leq M_c\). Um máximo local para uma função \(f\) definida sobre um conjunto \(S\), pode ser também um máximo global para \(f\) sobre \(S\). Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global).
Exemplo: A função parabólica definida por \(f(x)=x^2\) sobre o intervalo \([-1,2]\), possui dois pontos de máximo local, que ocorrem quando \(x=-1\) e \(x=2\), mas o ponto em que \(x=2\) é um ponto de máximo para \(f\).
Seja \(f\) uma função definida sobre um conjunto \(S\). O valor mínimo (mínimo global) para \(f\) sobre o conjunto \(S\), é um número real \(m\), denotado por
significando que, para todo \(x\in S\), temos que \(m\leq f(x)\) e além disso, existe um ponto \(d\in S\) tal que \(f(d)=m\). O ponto \(x=d\) é ponto de mínimo (global) e \(m\) é o valor mínimo para \(f\) sobre o conjunto \(S\).
Exemplo: A função real definida por \(f(x)=1-x^2\) sobre o intervalo fechado \(S=[-1,1]\) possui dois pontos de mínimo global, que ocorrem em \(x=-1\) e \(x=1\) e o valor mínimo global de \(f\) sobre \(S\) é \(f(-1)=f(1)=0\).
Seja \(f\) uma função definida sobre um conjunto \(S\). Uma função \(f\) possui um ponto de mínimo local (relativo) sobre o conjunto \(S\), se existe um ponto \(d\in S\), existe uma vizinhança aberta \(V_d\) contida em \(S\) e existe um número real \(m_d\) tal que
Para todo \(x\) na vizinhança \(V_d\), temos que \(f(x)\geq m_d\). Um mínimo local para uma função \(f\) definida sobre um conjunto \(S\), pode ser também um mínimo global para \(f\) sobre \(S\). Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo.
Exemplo: \(f(x)=1-x^2\), definida sobre \([-1,2]\) possui dois pontos de mínimo local, em \(x=-1\) e \(x=2\), mas o ponto cuja abscisa é \(x=2\), é também um ponto de mínimo global para \(f\).
Os valores máximo e mínimo de uma função, são denominados extremos da função e os pontos de máximo e de mínimo da função, são denominados pontos de extremos da função.
Exemplo: Seja uma função \(f=f(x)\), cujo gráfico está apresentado na figura seguinte. Os valores extremos são \(f(a)\), \(f(b)\), \(f(c)\), \(f(d)\) e \(f(e)\). Os pontos extremos são os pares ordenados \((a,f(a))\), \((b,f(b))\), \((c,f(c))\), \((d,f(d))\) e \((e,f(e))\).
