A média aritmética entre dois números reais positivos x e y, é definida como:
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Exemplo: A média aritmética entre x=6 e y=9 é igual a a(6,9)=(6+9)/2=7,5.
Usando a notação R[x] para a raiz quadrada de x>0, a média geométrica entre x e y, é definida como a raiz quadrada do produto de x por y, isto é:
g(x,y) = R[x.y]
Exemplo: A média geométrica entre x=4 e y=9 é igual a g(4,9)=R[4×9]=6.
A média harmônica entre x e y, é definida por:
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Exemplo: A média harmônica entre x=4 e y=8 é igual a h(4,8)=(2×4×8)/(4+8)=16/3.
Se x=y, temos a igualdade a(x,y)=g(x,y)=h(x,y), mas em geral, valem as desigualdades:
h(x,y)<g(x,y)<a(x,y)
Demonstração de g(x,y)<a(x,y): Dados x>0 e y>0, temos que (x-y)²> 0, ou seja
0 < x² + y² -2xy
Somando 4xy a ambos os membros, teremos:
4xy < x² + y²+ 2xy
que equivale a
4xy < (x + y)²
isto é
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Como a função raiz quadrada f(x)=R[x] definida para x>0 é crescente, podemos extrair a raiz quadrada em ambos os membros dessa desigualdade, para obter:
g(x,y) = R[xy] < ½(x+y) = a(x,y)
Demonstração de h(x,y)<g(x,y): Já mostramos antes que para x>0 e y>0, temos que
4xy < (x+y)²
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por xy, obtemos
4x²y² < xy(x+y)²
ou seja
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Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros dessa desigualdade, vem:
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significando que
h(x,y) < g(x,y)
É fácil ver que se x=y, então h(x,x)=g(x,x)=a(x,x)=x.
Qual é a relação existente entre as médias, definidas acima, com os conceitos de máximo e mínimo de funções envolvendo duas variáveis?
Olhando com um pouco de atenção para as expressões das desigualdades:
Observamos que o membro mais à esquerda possui um produto e uma soma, o membro do meio possui apenas um produto e o membro mais à direita possui uma soma envolvendo as variáveis x e y.
A média harmônica, do ponto de vista matemático, estabelece a média das ações de vários indivíduos, desenvolvidas quando ocorre a colaboração de uma ação com as outras. A nossa página sobre Harmonia matemática mostra a importância desse tipo de conceito, o qual nem sempre é tratado com o destaque merecido por parte de vários professores da área de Matemática.
A média geométrica oferece o maior produto possível entre duas medidas dadas. É bastante usada em construções geométricas.
A média aritmética é uma tentativa de minimizar as relações entre duas medidas, não tendo muita utilidade prática, a não ser em situações onde existe uma grande quantidade de objetos a medir e se faz necessário escolher uma amostra para tratar do assunto.
Você já imaginou uma situação em que o seu salário é R$10.000,00 e o salário de seu amigo é R$2.000,00 e alguém afirma que a média salarial de vocês dois é R$6.000,00. Pense um pouco! Vamos nos limitar a analisar a última desigualdade:
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Esta desigualdade garante uma certa dualidade entre o produto e a soma de duas medidas. A expressão da esquerda está limitada superiormente pela expressão da direita. Isto significa que a expressão da esquerda assumirá um máximo quando ocorrer a igualdade com a expressão da direita, ao mesmo tempo que, a expressão da direita assumirá um mínimo quando ocorrer a igualdade com a expressão da esquerda. Concluímos então, que:
Dentre todos os produtos de x por y, o produto máximo ocorre quando x=y=R[P], isto é, P=x².
Dentre todas as somas de x e y, a soma mínima assumida quando x=y=m/2, isto é, m=2x.
Sem fazer uso de derivadas, podemos obter extremos (máximos e mínimos) de funções de várias variáveis, apenas usando as desigualdades com as médias.
Qual é o produto máximo entre dois números, sabendo-se que a soma desses números positivos é 12?
Se x+y=12, então a(x,y)=6. A média geométrica satisfaz à desigualdade:
R[xy] = g(x,y) < a(x,y) = 6
O máximo acontece com xy=36, quando x=y=6.
O produto de dois números positivos é 64. Qual é a menor soma desses dois números?
Se x.y=64, então g(x,y)=R[64]=8. A média aritmética satisfaz à desigualdade:
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O mínimo acontece com x+y=16, quando x=y=8.