A primeira derivada de uma função é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em cada ponto onde a deriva existe, sendo assim, se a derivada segunda também existir nesses pontos, temos que.
(1) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) crescem à medida que x cresce, f"(x)>0 e a concavidade (boca) da função é voltada para cima.
(2) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) decrescem à medida que x cresce, f"(x)<0 e a concavidade (boca) da função é voltada para baixo.
Utilizando estas idéias podemos estabelecer o seguinte
Teorema: Se f é uma função que possui as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, teremos as situações abaixo:
Se f"(x)>0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de x.
Se f"(x)<0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)=0.
Se f"(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
Se f"(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.
Exemplo: As funções f(x)=1-x² e g(x)=x², definidas sobre S=[-1,2] possuem pontos críticos em x=0. f"(0)=-2<0 e g"(0)=2>0. Pelo critério da segunda derivada, x=0 é ponto de máximo local para f e ponto de mínimo local para g.
 |
 |
|---|---|
| f(x)=1-x² | g(x)=x² |
Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.
Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, vamos admitir que f possui um ponto crítico c em S, isto é, f'(c)=0 e que:
f''(c)=f'''(c)=f(iv)(c)=...=f(n-1)(c)=0, mas f(n)(c) é diferente de zero
Assim:
Se n é par e f(n)(c)<0, x=c é ponto de máximo local para a função f.
Se n é par e f(n)(c)>0, x=c é ponto de mínimo local para a função f.
Se n é ímpar e f(n)(c) é diferente de zero, x=c não é ponto de mínimo para f, nem ponto de máximo para f. Este ponto x=c recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a função f.
Exemplos
Para f(x)=x4 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é ponto de mínimo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 mas f(iv)(0)=24
Para f(x)=x5 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de inflexão horizontal, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=0 mas f(v)(0)=120
Para f(x)=-x6 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de máximo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=f(v)(0)=0 mas f(vi)(0)=-720
Um ponto de inflexão horizontal, para uma função f que tem as duas primeiras derivadas contínuas e está definida sobre um conjunto S, é um ponto x=c em S tal que à esquerda dele a concavidade do gráfico de f está voltada para baixo e à direita de x=c a concavidade da curva está voltada para cima. A situação ainda ocorrerá se trocarmos as palavras: "para baixo" e "para cima".
A palavra horizontal significa que passando uma reta horizontal pelo ponto de coordenadas (c,f(c)), a parte do gráfico localizada à direita de x=c fica de um lado da reta e a parte da curva localizada à esquerda de x=c fica do outro lado da reta. É equivalente dizer que a reta tangente ao gráfico da função neste ponto é horizontal.