Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.

Ponto crítico de uma função derivável

Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0.

Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.

Teorema (Pierre Fermat)

Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0.

Observações

1. Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).

   

2. Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

   

3. Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-1)=2 e f '(2)=-4.

   

Existe um critério que faz uso da primeira derivada para identificar se um ponto localizado no interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f.

Este critério se baseia nas seguintes idéias:

1. Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos.

2. Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos.

3. Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero.

        

Critério da primeira derivada

Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.

1. Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.

2. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

Exemplos

(1) Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.

(2) Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. g '(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.

Observações

1. Nem todo ponto crítico de uma função é ponto de extremo dessa função, como é o caso de f(x)=x³, definida sobre S=[-2,2]. f '(x)=3x². O ponto crítico é x=0. À esquerda e também à direita de x=0, a derivada é positiva, logo, x=0 não pode ser ponto de máximo local nem ponto de mínimo local para f.

   

   
   

2. O critério da 1a. derivada, pode ser escrito na forma: Se f é uma função derivável sobre um intervalo [a,b] e existe um ponto x=c no intervalo aberto (a,b) para o qual f '(c) é diferente de 0, então este ponto x=c não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para f.

Teorema do Valor Máximo (Karl Weierstrass)

Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x₁ e x₂ em [a,b] tal que para todo x em [a,b]:

f(x₁) = m < f(x) < M = f(x₂)

Observações e exemplos

1. O critério da primeira derivada e o Teorema do Valor Máximo garantem que para um ponto ser extremo de uma função derivável no intervalo fechado [a,b], tais pontos serão as extremidades x=a e x=b ou os pontos x de (a,b) para os quais f '(x)=0. Tais pontos de extremo nem sempre são detectados com o critério da primeira derivada.

2. Se a função é contínua mas não é derivável em um ponto x=c, podemos estudar o extremo da função neste ponto onde não existe a derivada de f, pois ocorre a formação de um "bico" no gráfico de f ou existe uma tangente vertical ao gráfico de f neste ponto.

3. A função modular f(x)=|x| definida sobre S=[-1,1] possui um ponto crítico em x=0, que é um ponto de S em que não existe a derivada de f.

   

4. f(x)=sen(x) definida sobre [-,], possui máximo em x=- e x=/2 e mínimo em x=-/2 e x=.

   

5. f(x)=1/x definida sobre S=(0,1], tem um ponto de mínimo em x=1, mas sobre S não tem ponto de máximo.

   

6. g(x)=-1/x definida sobre S=(0,1], tem um ponto de máximo em x=1, mas sobre S não tem ponto de mínimo.

   

7. f(x)=x+1/x definida sobre S=[-1,1] com f(0)=0, não possui derivada em x=0, seus valores extremos ocorrem em x=-1 (ponto de máximo) e x=1 (ponto de mínimo).

   

8. f(x)=x+1/x definida sobre S=[-3,3] com f(0)=0, não possui derivada em x=0, seus pontos críticos são x=-1 e x=1. (-1,-2) é um ponto de máximo relativo e (1,2) é um ponto de mínimo relativo.

   

Teorema de localização

Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):

1. Nas extremidades do intervalo [a,b], ou

2. Em pontos críticos de f, ou

3. Em pontos onde a derivada de f não existe.