Material dirigido a pessoas que já conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite os nossos links Integrais reais (1) e Integrais reais (2), onde você poderá aprender os principais conceitos sobre este assunto. Os procedimentos matemáticos que apresentamos, são acompanhados por exemplos ilustrativos.

Rⁿ[a] significará a raiz n-ésima de a>0 e R[a] significará a raiz quadrada de a>0. Esta notação é mais significativa que a do sinal de raiz e Pi==3,14159265359...

Propriedades das curvas planas

Uma curva plana pode ser descrita por algumas formas, como por exemplo:

Forma	Expressão	Exemplo	Intervalo
cartesiana	y = f(x)	y = x²	x[-1,1]
cartesiana	x = g(y)	x = y4	y[0,16]
paramétrica	f(t)=(x(t),y(t))	f(t)=(cos(t),sen(t))	t[0,2]
polar	r=r(t) ou t=t(r)	r=2 cos(t)	t[0,2]

Observações gerais sobre curvas planas:

1. y=R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano superior.

2. y=-R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano inferior.

3. x=cos(t), y=sen(t), t[0,2] é uma descrição para toda a circunferência x²+y²=r² no plano cartesiano.

4. Se uma curva C é obtida pela reunião das curvas y=R[x] e y=-R[x], ela não é uma função da variável x definida sobre o intervalo [0,4], mas podemos tomar a função inversa x=y² com a variável y em [-16,16] e pensar a curva original como se estivesse rodada de 90 graus em relação aos eixos do sistema cartesiano. Assim, podemos escrever a curva C como função de y.

Momento Mx quando a curva plana é descrita por y=f(x)

Considerando a curva descrita por y=f(x), o momento estático da curva em relação ao eixo OX, denotado por Mx, é dado por:

Mx =	x" x'	f(x) R[1+(f'(x))²] dx

Exemplo: Seja y=f(x)=6-2x o segmento de reta no 1o. quadrante com x[1,2]. Como f'(x)=-2, segue que:

Mx =	x=2 x=1	R[5](6-2x) dx

Momento Mx quando a curva plana é descrita por x=g(y)

Considerando a curva descrita por x=g(y), o momento estático da curva em relação ao eixo OX, denotado por Mx, é dado por:

Mx =	y" y'	y R[1+(g'(y))²] dy

Exemplo: Seja x=g(y)=12-4y o segmento de reta no 1o. quadrante com y[¼,2]. Como g'(y)=-4, segue que:

Mx =	y=2 y=¼	R[17] y dy

Momento My quando a curva plana é descrita por y=f(x)

Considerando a curva descrita por y=f(x), o momento estático da curva em relação ao eixo OY, denotado por My, é dado por:

My =	x" x'	x R[1+(f'(x))²] dx

Exemplo: Seja y=f(x)=3-12x o segmento de reta no 1o. quadrante com x[1,2]. Como f'(x)=-12, temos:

My =	x=2 x=1	R[145] x dx

Momento My quando a curva plana é descrita por x=g(y)

Considerando a curva descrita por x=g(y), o momento estático da curva em relação ao eixo OY, denotado por My, é dado por:

My =	y" y'	g(y) R[1+(g'(y))²] dy

Exemplo: Seja x=g(y)=12-4y o segmento de reta no 1o. quadrante com y[¼,2]. Como g'(y)=-4, segue:

My =	y=2 y=¼	R[17] (12-4y) dy

Centro de gravidade de uma curva plana

O centro de gravidade G=(x,y) de uma curva cujo comprimento do arco é dado por S e os momentos estáticos em relação aos eixos OX e OY, são respectivamente dados por Mx e My, pode ser obtido por x=My/S e y=Mx/S.

Exemplo: Seja x²+y²=a² o arco de circunferência de raio a, no 1o. quadrante com x[0,a]. Com y=f(x)=R[a²-x²], obtemos f'(x)=-x/R[a²-x²] e segue que:

S =	a 0	R[1+x²/(a²-x²)] dx = a/2
My =	a 0	x R[1+x²/(a²-x²)] dx = a²
Mx =	a 0	R[a²-x²] R[1+x²/(a²-x²)] dx = a²

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