Material dirigido a pessoas que já conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite os nossos links Integrais reais (1) e Integrais reais (2), onde você poderá aprender os principais conceitos sobre este assunto. Os procedimentos matemáticos que apresentamos, são acompanhados por exemplos ilustrativos.

Rⁿ[a] significará a raiz n-ésima de a>0 e R[a] significará a raiz quadrada de a>0. Esta notação é mais significativa que a do sinal de raiz e Pi==3,14159265359...

Propriedades das curvas planas

Uma curva plana pode ser descrita por algumas formas, como por exemplo:

Forma	Expressão	Exemplo	Intervalo
cartesiana	y = f(x)	y = x²	x[-1,1]
cartesiana	x = g(y)	x = y4	y[0,16]
paramétrica	f(t)=(x(t),y(t))	f(t)=(cos(t),sen(t))	t[0,2]
polar	r=r(t) ou t=t(r)	r=2 cos(t)	t[0,2]

Observações gerais sobre curvas planas:

1. y=R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano superior.

2. y=-R[r²-x²], x[-r,r] é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano inferior.

3. x=cos(t), y=sen(t), t[0,2] é uma descrição para toda a circunferência x²+y²=r² no plano cartesiano.

4. Se uma curva C é obtida pela reunião das curvas y=R[x] e y=-R[x], ela não é uma função da variável x definida sobre o intervalo [0,4], mas podemos tomar a função inversa x=y² com a variável y em [-16,16] e pensar a curva original como se estivesse rodada de 90 graus em relação aos eixos do sistema cartesiano. Assim, podemos escrever a curva C como função de y.

Curva plana definida por y=f(x)

Se a curva é dada por y=f(x), x[a,b], o comprimento de arco S, é dado por qualquer uma das formas abaixo:

S =	b a	R[1+(f'(x))²] dx

ou

S =	b a	R[1+(y'(x))²] dx

Exemplo: Para y=R[r²-x²], semi-circunferência de raio r no semi-plano y>0, x[-r,r], segue que y'(x)=x/R[1-x²], então:

S=	r -r	R[1+x²/(1-x²)] dx = r

O perímetro da circunferência de raio r é P=2r.

Curva plana definida por x=g(y)

Se a curva é dada por x=g(y), y[c,d], o comprimento de arco S, é dado por qualquer uma das formas abaixo:

S =	d c	R[1+(g'(y))²] dy

ou

S =	d c	R[1+(x'(y))²] dy

Exemplo: Para a semi-circunferência x=R[r²-y²], de raio r no semi-plano x<0, y[-r,r], temos x'(y)=y/R[1-y²], logo:

S =	r -r	R[1+y²/(1-y²)] dy = r

e temos outra forma, agora com a variável y, para concluir que o perímetro da circunferência de raio r é P=2r.

Curva paramétrica f(t)=(x(t),y(t))

Se a curva está na forma paramétrica f(t)=(x(t),y(t)) com t[t',t"], o comprimento de arco S, é dado por uma das formas abaixo:

S =	t" t'	|f'(t)| dt

ou

S =	t" t'	R[(x'(t))²+(y'(t))²] dt

Exemplo: Seja f(t)=(rcos(t),rsen(t)) com t[0,2]. Esta é uma parametrização para a circunferência de raio r, centrada na origem do sistema cartesiano. Como |f'(t)|=r, então:

S =	2 0	r dt = 2 r

e concluímos que esta é uma maneira muito mais fácil de obter o perímetro da circunferência de raio r.

Curva plana na forma polar r=r(t)

Se a curva está escrita em coordenadas polares: r=r(t) com t[t',t"], o comprimento de arco S, é dado por:

S =	t" t'	R[r²+(r'(t))²] dt

Exemplo: Seja r=a o arco de circunferência de raio a localizado entre os ângulos t=/6 e t=2. Como r'(t)=0, segue que:

S =	2 /6	a dt = a(2 - /6)= 11a/6

Curva na forma polar t=t(r)

Se a curva está escrita em coordenadas polares: t=t(r) com r[r',r"], o comprimento de arco S, é dado por:

S =	r" r'	R[1+r².(t'(r))²] dr

Exemplo: Seja t=1+r com r[2,5]. Como t'(r)=1, temos:

S =	5 2	R[1+r²] dr = 10,94588