Matemática Essencial

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Aplicacoes da integral: áreas de superfícies de revolução
Ulysses Sodré

Material desta página

Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite os nossos links Integrais reais(1) e Integrais reais (2), onde você pode aprender os principais conceitos sobre este assunto. Os procedimentos matemáticos que apresentamos, são acompanhados por exemplos ilustrativos.

1 Curva y=f(x) em torno de OX

Seja uma curva suave \(C\) descrita por \(y=f(x)\) (não negativa) sobre o intervalo \([a,b]\), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo \(OX\) é dada por:

\[A(S)=2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\]

2 Curva x=g(y) em torno de OX

Seja uma curva suave \(C\) descrita por \(x=g(y)\) (não negativa) em \([c,d]\), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo OY é dada por:

\[A(S) = 2\pi\int_c^d y \sqrt{1+(g'(y))^2}dy\]

3 Curva parametrizada em torno de OX

Se uma curva suave \(C\) é descrita por \(f(t)=(x(t),y(t))\) (\(y=y(t)\) não negativa sobre \([t',t'']\)), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo OX é dada por:

\[A(S)=2\pi\int_{t'}^{t''} y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\]

4 Curva y=f(x) em torno de OY

Considerando uma curva suave \(C\) descrita por \(y=f(x)\) (não negativa no intervalo \([a,b]\)), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo \(OY\) é dada por:

\[A(S)=2\pi\int_a^b x \sqrt{1+(f'(x))^2}dx\]

5 Curva x=g(y) em torno de OY

Considerando uma curva suave \(C\) descrita por \(x=g(y)\) (não negativa em \([c,d]\), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo \(OY\) é dada por:

\[A(S)=2\pi\int_c^d g(y)\sqrt{1+(g'(y))^2}dy\]

6 Curva parametrizada em torno de OY

Se uma curva suave \(C\) é descrita por \(f(t)=(x(t),y(t))\) (\(x=x(t)\) não negativa em \([t',t'']\)), a área da superfície de revolução da curva \(C\) em torno do eixo \(OY\) é dada por:

\[A(S) = 2\pi \int_{t'}^{t''} x(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\]