Matemática Essencial
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Aplicacoes da integral: momentos de inercia de curvas planas
Ulysses Sodré
Material desta página
Material dirigido a pessoas que conhecem o Cálculo Integral. Caso não conheça, sugiro que visite os nossos links Integrais reais(1) e Integrais reais (2), onde você poderá aprender os principais conceitos sobre este assunto. Os procedimentos matemáticos que apresentamos, são acompanhados por exemplos ilustrativos.
1 Propriedades das curvas planas
Uma curva plana pode ser descrita por algumas formas, como por exemplo:
\[\begin{array}{llll} \hline
Forma & Expressão & Exemplo & Intervalo \\ \hline
cartesiana & y=f(x) & y=x^2 & x\in[-1,1] \\
cartesiana & x=g(y) & x=y^4 & y\in [0,16] \\
paramétrica & f(t)=(x(t),y(t)) & f(t)=(\cos(t),\text{sen}(t)) & t\in [0,2\pi] \\
polar & r=r(t)\text{ ou }t=t(r) & r=2\cos(t) t\in[0,2\pi] \\ \hline
\end{array}
\]
Notas gerais sobre curvas planas:
- \(y=\sqrt{r^2-x^2}\), \(x\in[-r,r]\) é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano superior.
- \(y=-\sqrt{r^2-x^2}\), \(x\in[-r,r]\) é uma descrição para a parte da circunferência localizada no semi-plano cartesiano inferior.
- \(x=\cos(t), y=\text{sen}(t)\), \(t\in[0,2\pi]\) é uma descrição para toda a circunferência \(x^2+y^2=r^2\) no plano cartesiano.
- Se uma curva \(C\) é obtida pela reunião das curvas \(y=\sqrt{x}\) e \(y=-\sqrt{x}\), ela não é uma função da variável \(x\) definida sobre o intervalo \([0,4]\), mas podemos tomar a função inversa \(x=y^2\) com a variável \(y\in[-16,16]\) e pensar a curva original como se estivesse rodada de \(90\text{^0}\) em relação aos eixos do sistema cartesiano. Assim, podemos escrever a curva \(C\) como função de \(y\).
2 Momento Ixx para a curva plana y=f(x)
Se a curva é descrita por \(y=f(x)\), o momento de inércia da curva em relação ao eixo \(OX\), denotado por \(Ixx\), é dado por:
\[Ixx = \int_{x'}^{x''} f^2(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\]
Exemplo: Seja \(x^2+y^2=a^2\) o arco de circunferência de raio \(a\) no primeiro quadrante sendo \(x\in[0,a]\). Com \(f(x)=\sqrt{a^2-x^2}\), obtemos \(f'(x)=-x/\sqrt{a^2{-}x^2}\) e segue que:
\[Ixx = \int_0^a (a^2{-}x^2)\sqrt{1+x^2/(a^2{-}x^2)}dx = \frac14 a^3 \pi\]
3 Momento Ixx para a curva plana x=g(y)
Se a curva é descrita por \(x=g(y)\), o momento de inércia da curva em relação ao eixo \(OX\), denotado por \(Ixx\), é dado por:
\[Ixx = \int_{y'}^{y''} y^2 \sqrt{1+(g'(y))^2}dy\]
Exemplo: Seja \(x^2+y^2=a^2\) a semi-circunferência de raio \(a\) no semi-plano \(x\geq 0\) e \(y\in[-a,a]\). Com \(g(y)=\sqrt{a^2{-}y^2}\), obtemos \(g'(y)={-}y/\sqrt{a^2{-}y^2}\). Segue que:
\[Ixx = \int_{{-}a}^a y^2 \sqrt{1+y^2/(a^2{-}y^2)}dy = \frac12 a^3 \pi\]
4 Momento Iyy para a curva plana y=f(x)
Para a curva descrita por \(y=f(x)\), o momento de inércia da curva em relação ao eixo \(OY\), denotado por \(Iyy\), é dado por:
\[Iyy = \int_{x'}^{x''} x^2\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\]
Exemplo: Seja \(4x+y{-}2=0\) o segmento de reta no primeiro quadrante com \(x\in[0,1/4]\). Se \(f(x)=2{-}4x\), então \(f'(x)={-}4\) e temos:
\[Iyy = \int_0^{\frac14} \sqrt{17} x^2 dx\]
5 Momento Iyy para a curva plana x=g(y)
Para a curva descrita por \(x=g(y)\), o momento de inércia da curva em relação ao eixo \(OY\), denotado por \(Iyy\), é dado por:
\[Iyy = \int_{y'}^{y''} g^2(y)\sqrt{1+(g'(y))^2}dy\]
Exemplo: Seja \(4x+y{-}2=0\) o segmento de reta no primeiro quadrante com \(y\in[0,2]\). Se \(g(y)=(2{-}y)/4\), então \(g'(y)={-}\frac14\) e segue que:
\[Iyy = \int_0^2 \sqrt{17}/16 (2{-}y)^2 dy = \sqrt{17}/6\]
6 Momento Ixy para a curva plana y=f(x)
Para a curva descrita por \(y=f(x)\), o produto de inércia da curva, denotado por \(Ixy=Iyx\), é dado por:
\[Ixy = Iyx = \int_{x'}^{x''} x f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\]
Exemplo: Seja \(x^2+y^2=a^2\) o arco de circunferência de raio \(a\) no semi-plano superior com \(x\in[-a,a]\). Tomamos \(f(x)=\sqrt{a^2{-}x^2}\), para obter \(f'(x)={-}x/\sqrt{a^2{-}x^2}\) e ter:
\[Ixy=Iyx=\int_{{-}a}^a x\sqrt{a^2{-}x^2}\sqrt{1+x^2/(a^2{-}x^2)}dx=0\]
7 Momento Ixy para a curva plana x=g(y)
Para a curva descrita por \(x=g(y)\), o produto de inércia da curva, denotado por \(Ixy=Iyx\), é dado por:
\[Ixy = Iyx = \int_{y'}^{y''} y g(y)\sqrt{1+(g'(y))^2}dy\]
Exemplo: Seja \((x{-}a)^2+(y{-}a)^2=a^2\) a circunferência de raio \(a\) no primeiro quadrante que é tangente aos eixos \(OX\) e \(OY\). Esta curva não representa uma função \(x=g(y)\), mas ela pode ser decomposta em duas funções:
\begin{align}
x &= g_1(y) = a+\sqrt{a^2{-}y^2} \\
x &= g_2(y) = a{-}\sqrt{a^2{-}y^2}
\end{align}
Temos que:
\begin{align}
g_1'(y) &= {-}(y{-}a)/\sqrt{a^2{-}(y{-}a)^2} \\
g_2'(y) &= +(y{-}a)/\sqrt{a^2{-}(y{-}a)^2}
\end{align}
Calculamos \(Ixy\) com a soma das duas integrais \(I_1\) e \(I_2\).
\begin{align}
I_1&=\int_0^{2a} y(a+\sqrt{a^2{-}y^2})\sqrt{1+(y{-}a)^2/(a^2{-}(y{-}a)^2)}dy=a^3(\pi+1) \\
I_2&=\int_0^{2a} y(a{-}\sqrt{a^2{-}y^2})\sqrt{1+(y{-}2)^2/(a^2{-}(y{-}2)^2)} dy=a^3(\pi{-}1)
\end{align}
Dessa forma, \(Ixy=I_1+I_2 = 2\pi a^3\).
8 Momento de inércia polar de curva plana
O momento de inércia polar de uma curva, denotado por \(Io\), pode ser calculado em função dos momentos de inércia da curva em relação aos eixos \(OX\) e \(OY\), respectivamente denotados por \(Ixx\) e \(Iyy\), através de \(Io=Ixx+Iyy\).
Exemplo: Seja \((x{-}a)^2+(y{-}a)^2=a^2\) a circunferência de raio \(a\) que é tangente aos eixos \(OX\) e \(OY\), localizada no primeiro quadrante. Esta curva não é uma função, mas no intervalo \([0,2\pi]\) ela pode ser decomposta como a reunião de duas funções:
\begin{align}
y=f_1(x) &= a +\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2} \\
y=f_2(x) &= a {-}\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2}
\end{align}
Temos que:
\begin{align}
f_1'(x) &= {-}(x{-}a)/\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2} \\
f_1'(x) &= +(x{-}a)/\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2}
\end{align}
Calculamos \(Ixx\) como a soma de duas integrais \(I_1\) e \(I_2\).
\begin{align}
I_1&=\int_0^{2a}(a+\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2})^2\sqrt{1+(x{-}a)^2/(a^2{-}(x{-}a)^2)}dx \\
I_2&=\int_0^{2a}(a{-}\sqrt{a^2{-}(x{-}a)^2})^2\sqrt{1+(x{-}a)^2/(a^2{-}(x{-}a)^2)}dx
\end{align}
\(I_1=\frac32\pi a^3+4a^3\) e \(I_2=\frac32\pi a^3{-}4a^3\) e assim \(Ixx=I_1+I_2=3\pi a^3\) e de forma análoga, obtemos \(Iyy=3\pi a^3\) e concluímos que \(I_0=Ixx+Iyy=6\pi a^3\).
9 Quatro casos especiais
- Objeto: Segmento horizontal
- Curva: \(y=0,0<x<L\)
- Comprimento: \(s\)
- Momento \(Mx: 0\)
- Momento \(My: \frac12 s^2\)
- Abscissa \(x_m: \frac12 s\)
- Ordenada \(y_m: 0\)
- Momento \(Ixx 0\)
- Momento \(Ixy: 0\)
- Momento \(Iyy: \frac13 s^3\)
- Objeto: Segmento inclinado
- Curva: \(y=\text{tan}(a)x\)
- Comprimento: \(s\)
- Momento \(Mx: \frac12 s^2\text{sen}(a)\)
- Momento \(My: \frac12 s^2\cos(a)\)
- Abscissa \(x_m: \frac12 s\cos(a)\)
- Ordenada \(y_m: \frac12 s\text{sen}(a)\)
- Momento \(Ixx: s^3\text{sen}^2(a)\)
- Momento \(Ixy: \frac16 s^3\text{sen}(2a)\)
- Momento \(Iyy: \frac13 s^3\cos^2(a)\)
- Objeto: Circunferência
- Curva: \((x{-}r)^2+(y{-}r)^2=r^2\)
- Comprimento: \(2\pi r\)
- Momento \(Mx: 2\pi r^2\)
- Momento \(My: 2\pi r^2\)
- Abscissa \(x_m: r\)
- Ordenada \(y_m: r\)
- Momento \(Ixx: 3\pi r^3\)
- Momento \(Ixy: 2\pi r^3\)
- Momento \(Iyy: 3\pi r^3\)
- Objeto: Semicircunferência
- Curva: \((x{-}r)^2+y^2=r^2, y\geq 0\)
- Comprimento: \(\pi r\)
- Momento \(Mx: 2r^2\)
- Momento \(My: 2\pi r^2\)
- Abscissa \(x_m: r\)
- Ordenada \(y_m: 2r/\pi\)
- Momento \(Ixx: \frac12\pi r^3\)
- Momento \(Ixy: 2r^3\)
- Momento \(Iyy: \frac32\pi r^3\)