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O próprio nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano.
Necessitamos do Teorema da Média, que é um resultado preparatório para demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema da Média: Seja \(f\) uma função contínua num intervalo \([a,b]\). Então existe um valor \(c\) nesse intervalo tal que
Demonstração: Relembramos que
onde \(c_j\) é um ponto arbitrário do \(j\)-ésimo subintervalo de medida \(dx=(b-a)/n\) e o limite é tomado quando \(n\to\infty\).
Se \(m=\min\{f(x):x\in[a,b]\}\), \(M=\text{max}\{f(x):x\in[a,b]\}\) e \(f\) é contínua sobre um intervalo fechado e limitado da reta, temos a garantia (pelo Teorema dos valores extremos de Weierstrass) que existem \(x=x_0\) e \(x=x_1\) tal que \(m=f(x_0)\) e \(M=f(x_1)\), então, para todo \(c_j\) do intervalo \([a,b]\) tem-se que:
Multiplicando estas desigualdades por \(dx\), obtemos:
Realizando a soma sobre todos os índices \(j=0\cdots n\), obtemos
logo
Tomando o limite com \(n\to\infty\) sobre todas as três expressões nas desigualdades, obtemos:
assim
isto é:
Portanto, o termo do meio dessas desigualdades está entre \(m=f(x_0)\) e \(M=f(x_1)\) e pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos concluir que existe \(c\in[a,b]\) tal que
completando a demonstração do Teorema da média.
Uma primitiva para uma função \(f=f(x)\) é uma outra função \(F=F(x)\) cuja derivada coincide com \(f\), isto é, \(F'(x)=f(x)\). Pode ser que existam várias primitivas para uma mesma função \(f\). Você conhece alguma função real que não tem primitiva?
Exemplos: Algumas primitivas para \(f(x)=x^2\), são: \(F(x)=x^3/3\), \(G(x)=x^3/3+1\) e \(H(x)=x^3/3 + C\), pois as derivadas destas funções são iguais a \(f(x)=x^2\).
A constante \(C\) da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor real. Assim, uma primitiva geral para \(f(x)=x^2\), tem a forma:
onde o número \(C\) é uma constante arbitrária e \(x\in\text{Dom}(f)\).
Nota: Se \(F=F(x)\) e \(G=G(x)\) são primitivas para uma função \(f\), então para todo \(x\in\text{Dom}(f)\), existe uma constante \(C\) tal que:
Isto significa geometricamente, que o gráfico de uma primitiva é a translação vertical do gráfico da outra primitiva no plano cartesiano. Traçando segmentos de retas verticais com extremidades nas curvas \(y=F(x)\) e \(y=G(x)\), estes segmentos terão sempre a mesma medida C.
Definimos a integral indefinida de uma função real \(f\), como uma primitiva de \(f\), isto é:
para todo \(x\in\text{Dom}(f)\), sendo que o símbolo de integral é o mesmo já usado antes que teve origem como uma variação da letra grega \(\Sigma\) comumente usada para somas.
Exemplo: A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se \(f(x)=x^2\), então:
Como a derivada de \(f(x)=x^{n+1}/(n+1)\) é igual a \(g(x)=x^n\), segue que:
É necessário que \(n\neq -1\), pois a derivada da função logarítmica \(f(x)=\ln(x)\) é a função \(g(x)=1/x\), assim:
Como a derivada da função exponencial \(f(x)=\exp(x)=e^x\) é a própria \(f(x)=e^x\), então:
Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a \(x\) anos pode ser considerada como \(f(x)=117+200x\) e hoje existem \(10000\) pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a \(5\) anos?
Como \(P'(x)=117+200x\), então:
assim, podemos obter o valor de \(C\) pois \(P(0)=10000\). Realmente:
logo
\[P(x) = 117x + 100x^2 + 10000\]e daqui há 5 anos, a população da cidade será:
Agora podemos demonstrar o teorema mais importante do Cálculo Diferencial e Integral. Nós o faremos em duas versões e posteriormente mostraremos que ambas são equivalentes.
Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo: Seja \(f\) uma função contínua sobre um intervalo \([a,b]\) e seja \(F\) a função definida por
Então, \(F\) é derivável em todos os pontos internos desse intervalo e além disso:
\[F'(x) = f(x)\]Demonstração: Dando um acréscimo \(h\) à variável \(x\), podemos escrever:
Pelo teorema da média, existe um valor \(c\) entre \(x\) e \(x+h\), tal que
Das duas últimas expressões, obtemos para \(x<c<x+h\), que:
Dividindo ambos os membros por \(h\) e fazendo o limite com \(h\to 0\), obtemos a definição de derivada da função \(F=F(x)\).
O cálculo deste limite garante que \(c\to x\) e pela continuidade de \(f\), \(f(c)\to f(x)\), assim \(F'(x)=f(x)\), o que significa que
\[F(x) = \int_a^x f(t)dt\]é uma primitiva para a função \(f\).
Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja \(f\) uma função contínua sobre um intervalo \([a,b]\) e \(G\) uma primitiva para \(f\), então,
Equivalência entre as duas versões: Se a segunda versão é válida, então, substituindo a variável \(b\) por \(x\) em (3), obtemos
Como por hipótese, \(G\) é derivável com derivada \(f\), então o primeiro membro de (4) também é derivável e tem a mesma derivada \(f\), assim a segunda versão implica a primeira versão.
Reciprocamente, Se a primeira versão é válida, isto é, seja
\[F(x) = \int_a^x f(t)dt\]uma primitiva para \(f\). Se \(G\) for outra primitiva de \(f\), então
\[G(x) - F(x) = K\]onde \(K\) é uma constante, assim
\[G(x) = K + \int_a^x f(t)dt\]é a expressão mais geral de uma primitiva para \(f\) e como a integral de \(t=a\) até \(t=a\) é nula, segue que \(G(a)=K\), garantindo que:
\[G(x) = G(a) + \int_a^x f(t)dt\]Tomando x=b nesta última expressão, obtemos:
\[G(b)-G(a) = \int_a^b f(t)dt\]Exemplo 1: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos refazer o cálculo da área da figura delimitada pela parábola \(y=x^2\) e as retas \(y=0\), \(x=0\) e \(x=1\). Uma primitiva para \(f(x)=x^2\) é a função \(G(x)=\frac13 x^3\) e pelo Teorema Fundamental do cálculo, obtemos:
Exemplo 2: Calcular a área da região limitada pela parábola \(y=x^2\) e a reta \(y=3-2x\).
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:
Um estudo indica que, daqui a \(x\) anos, a população de uma cidadec rescerá à taxa de \(117+200x\) pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos \(10\) anos?
Solução: Se \(P=P(x)\) é a população daqui a \(x\) anos, então \(P'(x)=117+200x\). Uma primitiva para \(P'=P'(x)\) é \(G(x)=117x+100x^2\), logo o aumento populacional nos próximos \(10\) anos será dado por
Nota: Para calcular uma integral com o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, basta conhecer uma primitiva para a função envolvida.
Nota importante: Obter uma primitiva de uma função nem sempre é um problema simples e algumas vezes é impossível, como é o caso das integrais elípticas, que aparecem quando se deseja calcular a medida do arco de uma elipse através de integrais.
Obter uma primitiva para uma função pode envolver técnicas bastante sofisticadas, que são desenvolvidas nos cursos de Cálculo e Análise Matemática. Nosso objetivo aqui não é desenvolver estas técnicas de integração. Estamos mais interessados na compreensão do conceito de integral e de suas consequências.
Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:
\[\int f(u(x)) u'(x)dx\]substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral
\[\int f(u)du\]Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.
Nota: Para trabalhar com o método de integração por substituição, devemos usar de muita criatividade, percepção e resolver muitos exercícios!
Se existe uma primitiva \(G\) para a função \(v=v(x)\), isto é: \(G'(x)=v(x),\) então:
Demonstração: Pela derivada do produto de duas funções, segue que:
e integrando todos os membros desta última igualdade, obtemos:
isto é
assim
donde segue o resultado.
Exemplo: Para calcular \(\int x\ln(x)dx\), tomamos \(v(x)=x\) e \(u(x)=\ln(x)\). Assim, uma primitiva para \(g=v(x)\) é a função \(G(x)=\frac12 x^2\) e \(u'(x)=\frac{1}{x}\) e a fórmula de integração por partes, nos informa que:
Substituindo as funções acima definidas, obtemos:
A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.
Exercício: Calcular as integrais abaixo pelo uso sucessivo do método de integração por partes e depois crie uma fórmula geral para a última integral.