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Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais ideias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto \(P\) de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto \(P\) e é perpendicular ao segmento \(OP\), como vemos na figura ao lado.
Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto \(P\) sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.
Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto \(P\). Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto \(Q\). Na segunda figura, a curva está muito achatada perto do ponto \(P\) e a suposta reta tangente toca a curva em mais do que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto \(Q\).
Para obter uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que melhor aproxima o gráfico de \(f\) nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.
Seja a curva que é o gráfico de uma função contínua \(f\). \(x_0\) e \(f(x_0)\) são as coordenadas do ponto \(P\) onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora um outro ponto \(Q\) do gráfico de \(f\), descrito por \((x_0+h,f(x_0+h))\), onde \(h\) é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto \(P\) ao ponto (Q$. A reta que passa por \(P\) e \(Q\) é secante à curva \(y=f(x)\).
A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de \(f\) com respeito à variável $x), no ponto \(x_0\):
Se \(P\) é um ponto fixado e \(Q\) um ponto que se aproxima de \(P\), ocupando as posições sucessivas \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3,\cdots\), as secantes ocupam as posições por \(PQ_1\), \(PQ_2\), \(PQ_3,\cdots\) e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficam cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.
Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito \(k\), à medida que o ponto \(Q\) se aproxima do ponto \(P\), independentemente do fato que a abscissa de \(Q\) seja maior ou menor do que a abscissa de \(P\), mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de \(0\) no ponto \(P\), como sendo aquela que passa por \(P\) e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a \(k\).
O recurso analítico para fazer \(Q\) se aproximar de \(P\), consiste em fazer o número \(h\) tender a zero, isto é, tomar os valores de \(h\) arbitrariamente próximos de \(0\).
Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos \(Q_j\) está se aproximando do ponto \(P\) pela direita (pela esquerda).
Quando \(h\to 0\) e a razão incremental se aproxima do valor finito \(k\), dizemos que \(k\) é o limite da razão incremental com \(h\) tendendo a zero e denotamos isto por:
O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função \(f\) é contínua no ponto \(x=x_0\), então a reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto \(P=(x_0,f(x_0))\), é dada por:
Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função \(f(x)=x^2\). O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto \(P=(1,1)\), é:
A reta tangente à curva \(y=x^2\) no ponto \(P=(1,1)\) é \(y=2x-1\).
Quando \(h\to 0\) (\(h\neq 0\)) e o quociente de Newton no ponto \(x_0\) se aproxima de um valor finito \(k\), dizemos que este número \(k\) é a derivada de \(f\) no ponto \(x_0\), denotando este fato por:
desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de \(f\) em \(x_0\). Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que \(f\) é derivável (ou diferenciável) neste ponto.
Exemplo: A derivada da função \(f(x)=x^3\) no ponto \(x=1\), é dada por:
A derivada de \(f(x)=x^3\) no ponto genérico \(x=c\), é dada por:
A derivada de \(f(x)=x^3\) é denotada por \(f'(x)=3x^2\), pois
Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva \(y=f(x)\) em um ponto \(P=(c,f(c))\), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.
Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a \(k_1\) e \(k_2\), são perpendiculares, se o produto \(k_1 k_2 =-1\), logo, se \(k_1=f'(c)\), o coeficiente angular da reta normal é:
e a reta normal é dada por
Existem outras notações para a derivada de \(y=f(x)\) com relação a \(x\), como
mas, a mais comum é: \(\dfrac{dy}{dx}\).
Notas: Se existe o limite, podemos escrever a derivada de outras formas.
Nem sempre a diferença exata \(\Delta f\) coincide com a variação dinâmica para \(f\), definida como a diferencial de \(f\), denotada por \(df\). A diferencial de uma função contínua \(f\) no ponto \(x_0\) é definida por:
que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto \(P=(x_0,f(x_0))\) é:
Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto \(P=(x_0,f(x_0))\).
Usando \(dx=x-x_0\) e \(dy=y-f(x_0)\) temos um outro sistema em que as variáveis são \(dx\) e \(dy\), no lugar das variáveis antigas \(x\) e \(y\). Indicando a nova curva transladada por \(y=f(x)\), obtemos a nova reta tangente a esta curva que passa pela origem \((0,0)\) do novo sistema.
A equação da reta tangente é dada por:
cuja inclinação coincide com a diferencial de \(f\) no ponto \(x_0\). A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada.
Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto \((x_0,f(x_0))\) (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto \(P\), obtemos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo.
Como a derivada de uma função \(f\) em um ponto \(p\) é um caso particular de limite, então tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em \(p\):
Quando tais limites existem, eles são, respectivamente denominados, derivadas lateral de \(f\) à esquerda em \(p\) e derivada lateral de \(f\) à direita no ponto \(p\). Se ambos os limites existem e são iguais, dizemos que \(f\) possui derivada no ponto \(p\).
Função modular: A função modular (valor absoluto) definida por \(f(x)=|x|\) tem derivada lateral à direita no ponto \(x=0\) igual a \(+1\) e derivada lateral à esquerda no ponto \(x=0\) igual a \(-1\), o que significa que tais derivadas laterais no mesmo ponto são diferentes. Para todo \(x\neq 0\), as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem.
A função real definida por \(g(x)=|x|^3\) tem derivadas laterais sempre iguais em cada ponto \(x\) do seu domínio, o que significa que \(g=g(x)\) possui derivada em todos os pontos de \(R\).
Existem funções que não possuem derivada em um ponto, embora possam ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto.
Exemplo: A função modular (valor absoluto) definida por \(f(x)=|x|\), não tem derivada em \(x=0\), mas:
Nota especial: O exemplo anterior mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, garante a continuidade de f neste ponto.
Nota: Um termo comum na literatura sobre derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função derivável em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que, se o gráfico da função NÃO possui bicos, como a função modular, por exemplo, este fato implica na existência de derivadas laterais diferentes, garantindo que a função não tem derivada neste ponto.