Embora o conceito de continuidade possa ser dado sem o auxílio de limites, aqui neste material de Cálculo, o conceito de limite será usado para definir com mais cuidado o significado da continuidade de uma função.
Ao definir Lim f(x) quando x
a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).
Uma idéia muito simples de função real contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
Na sequência, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.
Na função descontínua g, observamos que:
1. Não existe Lim g(x) quando xb, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é:
b_ g(x) = sb+ g(x) = kembora g(b)=k.
2. Não existe Lim g(x) quando xc, pois
c_ g(x) = 
c+ g(x) = embora g(c)=k.
3. Em x=d, temos
d_ g(x) = Limxd+ g(x) = se g(d)=s. Assim
d g(x)=sque coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é:
d g(x) = g(d) = s4. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui
e_ g(x) = k = Limxe+ g(x)mas g(e)=z, logo
e g(x) 
g(e)A análise dos quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir desses exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando o limite da função não existe, ou quando existe mas não coincide com o valor da função naquele ponto. Vejamos então agora o que é uma função contínua!
Seja uma função f:|a,b|R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) existe, quando xc e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:
cf(x)=f(c)onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando xc, mas Lim f(x)f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.
Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que:
f tem descontinuidade de salto (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos.
f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c, isto é:
Limxc+f(x)= ±
ou
Limxc_f(x)=±
Vimos que a definição de continuidade de uma função no ponto x=c, exige o conceito de limite lateral à esquerda e à direita, portanto só pode ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto. Podemos mesmo estender esta definição a intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos. Por exemplo, uma função f definida sobre um intervalo do tipo (a,b), (b,) ou (-,a) será contínua nesse intervalo se a definição vale para qualquer x no intervalo citado.
É muito importante saber sempre em que intervalo a função está definida, quando se deseja estudar a sua continuidade.
Definição: Uma função f definida num intervalo [a,b] é contínua neste intervalo se f é contínua em todos os pontos deste intervalo. Assim, para todo c em (a,b) se tem:
cf(x) = f(c)e nas extremidades x=a e x=b do intervalo, se tem:
a+f(x) = f(a)b_f(x) = f(b)Exemplo: A função sinal, definida por:
tem uma descontinuidade de salto em x=0.
Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, que já foram apresentadas na seção das propriedades dos limites de funções.
Sejam f e g definidas no intervalo [a,b]. Se f e g são contínuas em um ponto x em [a,b], então também o são as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula.
Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] então, o mesmo ocorrerá com as funções: f+g, f-g, f·g e f÷g, desde que g=g(x) seja não nula em [a,b].
As funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, são contínuas em todos os pontos de seus domínios, os quais podem ser intervalos fechados, semi-abertos, abertos ou infinitos.
Seja f contínua em [a,b] e Im(f)=[c,d]. Se f admite inversa g, esta inversa g será contínua em [c,d].
Se xa implica que Lim g(x)=b e a função f é contínua em b, então
Lim (fog)(x)=f(b)
quando xa, ou seja
Lim (fog)(x) = Lim f(g(x) = f(Lim g(x))
Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta fog é contínua em a.
Se f é contínua sobre o intervalo fechado [a,b] e L é um número real tal que f(a)<L<f(b) ou f(b)<L<f(a), então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c)=L.
Há uma consequência do Teorema do valor Intermediário que é muito utilizada na obtenção de zeros (raízes) de funções reais em Análise numérica.
Se f é contínua sobre [a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número real x=c entre a e b tal que f(c)=0.
Exemplo de um zero muito especial: Consideraremos uma situação real em que uma pessoa financiou R$24.000,00, para pagar em 24 parcelas iguais de R$1.200,00 ao final de cada mês, sem ter dado qualquer valor de entrada. Pergunta-se: Qual é a taxa mensal de juros desta operação? Esta operação é conhecida em Matemática Financeira como um financiamento pelo Sistema Price e para obter a taxa de juros i, devemos resolver a equação:
| A = R | (1+i)n –1
i (1+i)n |
|---|
onde A=24000 e R=1200. Se i=0, não existe taxa de juros, razão pela qual esta fórmula não pode ser usada. Para i>0, podemos substituir A e R e escrever:
A função
que está mostrada no gráfico abaixo:
é contínua (função polinomial) para i>0, assim basta tomar i1=1%=0,01 e i2=2%=0,02 para observar que f(0,01)<0<f(0,002), o que garante que existe um número i entre 0,01 e 0,02 tal que f(i)=0.
Depois de algum trabalho obtemos i=0,01513=1,513%. Para obter este valor de modo rápido, acesse o nosso link sobre Taxas de juros em um financiamento pelo Sistema Price.