Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Conjuntos

Conjuntos são usados para descrever propriedades matemáticas. Para os nossos estudos, admitimos que existe um conjunto universal com todos os elementos do ambiente matemático que estamos trabalhando, denotando-o por \(\mathcal{U}\) e um conjunto vazio que não possui elementos, denotado por \(\emptyset\).

Em geral, conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os seus elementos são indicados por letras minúsculas.

Para indicar que um elemento \(x\) pertence ao conjunto \(A\), usamos a notação \(x\in A\). Se o elemento \(x\) não pertence ao conjunto \(A\), denotamos por \(x\notin A\).

Se os elementos de um conjunto \(A\) possuem uma mesma propriedade \(P=P(x)\), escrevemos este conjunto em uma das formas

Um conjunto \(A\) é subconjunto de \(B\) se, para todo \(x\in A\) tem-se que \(x\in B\), denotando esta inclusão, por \(A\subset B\). Se \(A\) é diferente de \(B\), diz-se que \(A\) é um subconjunto próprio de \(B\).

Um conjunto \(A\) é superconjunto de \(B\) se \(B\subset A\). Se \(A\) é diferente de \(B\), diz-se que \(A\) é um superconjunto próprio de \(B\).

Dois conjuntos \(A\) e \(B\) são denominados iguais, se e somente se, todo elemento de \(A\) é elemento de \(B\) e todo elemento de \(B\) é elemento de \(A\). Os conjuntos \(A\) e \(B\) são denominados iguais se, e somente se, \(A\subset B\) e \(B\subset A\). Em matemática, quando \(A\) e \(B\) são iguais, usamos a notação \(A=B\).

Se dois conjuntos \(A\) e \(B\) não são iguais, diz-se que \(A\) e \(B\) são diferentes e usamos a notação \(A \neq B\).

A reunião de dois conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) ou ao conjunto \(B\):

A interseção de dois conjuntos \(A\) e \(B\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e também ao conjunto \(B\):

Dois conjuntos \(A\) e \(B\) são disjuntos se, \(A\cap B = \emptyset\).

Sejam \(S\) e \(U\) conjuntos tal que \(S\subset U\). Define-se o complementar de \(S\) em \(U\), denotado por \(U-S\) ou por \(U\setminus S\), como:

Se o conjunto \(\mathcal{U}\) se refere ao universo, que se considera no contexto, é normal denotar o complementar de \(S\), como

Teorema: Se \(S\subset U\), então \(U-S = U\cap S^c\).

Nota: Em geral, as propriedades válidas para dois conjuntos também são válidas para um número finito de conjuntos, mas nem sempre são verdadeiras para um número infinito de conjuntos.

Seja a coleção de conjuntos \((A_i)_{i\in M}\), onde \(M=\{1,2,3,...,m\}\).

A reunião dos conjuntos \(A_i\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos \(A_i\):

A interseção dos conjuntos \(A_i\) é o conjunto de todos os elementos que pertencem a todos os \(A_i\):

Nas definições acima, se o conjunto \(M\) é substituído pelo conjunto \(N=\{1,2,3,4,...\}\) e a letra \(m\) for substituída pelo símbolo \(\infty\), a reunião é indicada por:

e a interseção é denotada por:

2 Elementos de Lógica matemática

Este assunto é comum mas relembramos alguns conceitos da Lógica Matemática. Uma proposição lógica verdadeira é denotada pela letra \(V\) ou pelo número \(1\) e uma proposição falsa é denotada pela letra \(F\) ou pelo número \(0\).

Para não escrever ou evitar repetir muitas palavras, foram criados alguns símbolos lógicos:

Algumas notações comuns em Lógica Matemática.

Nota: Algumas frases como

1. Para cada número real \(x\), \(x^2\) é não negativo.
2. Para cada número real \(x\) e para cada número real \(y\), vale \(x^2-y^2 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)\).
3. Existe um número real tal que \(x^2 = 4\).
4. Para cada \(x\) real, existe \(y\) real tal que \(x+y=0\).
5. Para cada \(\varepsilon\) positivo, existe \(\delta\) positivo tal que, se \(|x-a|<\delta\) então \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

podem ser simplificadas como:

1. \(\forall x\in R, x^2 \geq 0\).
2. \(\forall x\in R, \forall y\in R: x^2-y^2 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)\).
3. \(\exists x\in R : x^2 = 4\).
4. \(\forall x\in R, \exists y\in R: x+y=0\).
5. \(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0: |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

Regras básicas da Lógica:

1. A Conjunção de duas proposições lógicas \(p\) e \(q\), denotada por \(p\wedge q\), é verdadeira se, ambas são verdadeiras, sendo falsa nas outras situações.
2. A Negação de uma proposição p, denotada por \(\sim p\), é falsa se \(p\) é verdadeira e é verdadeira se \(p\) é falsa.
3. A Disjunção de duas proposições lógicas \(p\) e \(q\), denotada por \(p\vee q\), é falsa quando ambas são falsas, sendo verdadeira nas demais situações.
4. A Implicação \(p\to q\) é falsa se \(p\) é verdadeira e \(q\) é falsa, sendo verdadeira em todas as outras circunstâncias.
5. A Equivalência \(p \Leftrightarrow q\) é falsa se \(p\) é verdadeira e \(q\) é falsa, sendo verdadeira nas demais circunstâncias.

3 Tabelas-verdade com proposições lógicas

1. Conjunção:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & p\wedge q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & F \\ \hline \end{matrix}\]
2. Disjunção:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & p \vee q & \\ \hline V & V & V & \\ \hline V & F & V & \\ \hline F & V & V & \\ \hline F & F & F & \\ \hline \end{matrix}\]
3. Negação:
   \[\begin{matrix} \hline p & \sim p \\ \hline V & F \\ \hline F & V \\ \hline \end{matrix}\]
4. Implicação:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & p\to q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline \end{matrix}\]
5. Equivalência:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \hline \end{matrix}\]

4 Tabelas-verdade com valores numéricos

Notações: \(\min(x,y)\) é o menor valor entre \(x\) e \(y\), e, \(\text{max}(x,y)\) é o maior valor entre \(x\) e \(y\).

1. Conjunção:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & \min(p,q) \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{matrix}\]
2. Disjunção
   \[\begin{matrix} \hline p & q & \text{max}(p,q) & \\ \hline 1 & 1 & 1 & \\ \hline 1 & 0 & 1 & \\ \hline 0 & 1 & 1 & \\ \hline 0 & 0 & 0 & \\ \hline \end{matrix}\]
3. Negação:
   \[\begin{matrix} \hline p & \sim p = 1-p \\ \hline 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 \\ \hline \end{matrix}\]
4. Implicação:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & \sim p & \text{max}(\sim p,q) \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{matrix}\]
5. Equivalência:
   \[\begin{matrix} \hline p & q & \sim p & \sim q & a{=}\min(p,q) & b{=}\min(\sim p,\sim q) & \text{max}(a,b)\\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{matrix}\]

Algumas implicações lógicas:

1. Se \(p\) é verdadeira e \(q\) é verdadeira, então \(p\wedge q\) é verdadeira.
2. Se \(p\) é verdadeira ou \(q\) é verdadeira, então \(p\vee q\) é verdadeira.
3. Se \(p\) é verdadeira e \(p\to q\) é verdadeira, então \(q\) é verdadeira.
4. Se \(\sim p\) é verdadeira e \(p\vee q\) é verdadeira, então \(q\) é verdadeira.
5. Se \(\sim q\) é verdadeira e \(p\to q\) é verdadeira, então \(\sim p\) é verdadeira.
6. Se \(p\vee q\) é verdadeira, \(p\to r\) é verdadeira e \(q\to r\) é verdadeira, então \(r\) é verdadeira.
7. Se \(p\to q\) é verdadeira e \(q\to r\) é verdadeira, então \(p\to r\) é verdadeira.
8. Se são verdadeiras: (\(p\)), (\(p\to q\)) e (\(q\to r\)), então \(r\) é verdadeira.

Algumas equivalências lógicas:

1. \(p \vee [q \wedge (~q)] \Leftrightarrow p\)
2. \(p \wedge [q \vee (~q)] \Leftrightarrow p\)
3. \(p\to q \Leftrightarrow (~p) \vee q\)
4. \(\sim(p \to q) \Leftrightarrow p \wedge (\sim q)\)
5. \((p \to q) \Leftrightarrow (p\to q) \wedge (q\to p)\)
6. \((p \to q) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee [(\sim p) \wedge (\sim q)]\)
7. \(p \to (q\to r) \Leftrightarrow (p \wedge q)\to r\)
8. \(p \to q \Leftrightarrow (\sim q) \to (\sim p)\)

Quatro importantes equivalências lógicas: Usando as tabelas-verdade, mostre que as proposições abaixo são equivalentes:

1. \(p \to q\)
2. \((\sim q) \to (\sim p)\)
3. \((\sim q) \wedge p \to F\) (Afirmação falsa)
4. \((\sim p) \vee q \to V\) (Afirmação verdadeira)

Nota importante sobre a negação de uma frase lógica: Ao realizar a negação de uma afirmação matemática, é muito comum ocorrer erro na troca das posições dos quantificadores, pois negar um quantificador existencial é aceitar um quantificador universal e negar um quantificador universal é assumir um quantificador existencial.

A negação da afirmação

NÃO é a afirmação

A negação da frase lógica:

pode ser escrita como