Conjuntos são usados para descrever propriedades matemáticas. Para os nossos estudos, admitiremos que existe um conjunto universal com todos os elementos do ambiente matemático que estamos trabalhando, denotando-o por U e um conjunto vazio que não possui elementos, denotado por Ø.

Em geral, conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos dos conjuntos são indicados por letras minúsculas.

Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, usamos a notação x€A. Se o elemento x não pertence ao conjunto A, denotamos por xA.

Se os elementos de um conjunto A possuem uma mesma propriedade P=P(x), escrevemos este conjunto na forma A = { x: P(x) é verdadeira } ou A = { x|  P(x) é verdadeira }.

Definição: Um conjunto A é subconjunto de B se, para todo x€A tem-se que x€B, denotando esta inclusão, por AB. Se A é diferente de B, diz-se que A é um subconjunto próprio de B.

Definição: Um conjunto A é superconjunto de B se BA. Se A é diferente de B, diz-se que A é um superconjunto próprio de B.

Definição: Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A. Os conjuntos A e B são iguais se, e somente se, AB e BA. Quando A e B são iguais, usamos a notação A=B.

Definição: Se dois conjuntos A e B não são iguais, diz-se que A e B são diferentes e usamos a notação A ≠ B.

Definição: A reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B

AB = {x : x€A ou x€B }

Definição: A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B

AB = {x : x€A e x€B }

Definição: Dois conjuntos A e B são disjuntos se, AB = Ø.

Definição: Sejam S e U conjuntos tal que SU. Define-se o complementar de S em U, denotado por U–S ou por U \S, como

U–S = { x€U : xS }

Se o conjunto U se refere ao universo U que se considera no contexto, é normal denotar o complementar de S, como

S^c = { x€U : xS }

Teorema: Se SU, então U–S = US^c.

Observação: Em geral, as propriedades válidas para dois conjuntos também são válidas para um número finito de conjuntos, mas nem sempre são verdadeiras para um número infinito de conjuntos.

Definição: Seja a coleção de conjuntos {A_i}_i€M, onde M={1,2,3,...,m}. A reunião dos conjuntos A_i é o conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos A_i:

m i=1	Ai = {x : x€Ai para algum i€M }

Definição: A interseção dos conjuntos A_i é o conjunto de todos os elementos que pertencem a todos os A_i:

m i=1	Ai = {x : x€Ai para todo i€M }

Nas definições acima, se o conjunto M for substituído pelo conjunto N={1,2,3,4,...} e a letra m for substituída pelo símbolo, a reunião será indicada por:

i=1	Ai = {x : x€Ai para algum i€N }

e a interseção por:

i=1	Ai = {x : x€Ai para todo i€N }

Elementos de Lógica matemática: Este assunto é comum mas relembramos alguns conceitos da Lógica Matemática. Uma proposição lógica verdadeira é denotada pela letra V ou pelo número 1 e uma proposição falsa é denotada pela letra F ou pelo número 0.

Para não escrever e repetir muitas palavras, foram criados alguns símbolos lógicos:

Significado	existe	para todo	e	ou	não	implica	equivale
Símbolo(s)					~	,	,

Algumas notações comuns em Lógica Matemática.

Significado	Símbolos lógicos
p e q	pq
p ou q	pq
negação de p	~p
p implica q	pq
p implica q	pq
p implica (q ou r)	p(qr)
negação de p implica q	(~p)q
p equivale a q	pq

Observação: Algumas frases como

1. Para cada x real, x² é não negativo.

2. Para cada x real e para cada a real, vale x²–a² ≡ (x–a)(x+a).

3. Existe um número real tal que x² = 4.

4. Para cada x real, existe y real tal que x+y=0.

5. Para cada e > 0, existe δ > 0 tal que se |x–a| < δ então |f(x)–f(a)| < e.

podem ser simplificadas como:

1. x€R, x² ≥ 0.

2. x€R,a€R: x²–a² ≡ (x–a)(x+a)

3. x€R : x² = 4.

4. x€R,y€R : x+y=0.

5. ε > 0,δ > 0 : |x–a| < δ|f(x)–f(a)| < ε.

Regras básicas da Lógica

1. Conjunção de duas proposições lógicas p e q, denotada por pq, é verdadeira se, ambas são verdadeiras e falsa nas outras circunstâncias.

2. Negação de uma proposição p, denotada por ~p, é falsa se p é verdadeira e é verdadeira se p é falsa.

3. Disjunção de duas proposições lógicas p e q, denotada por pq, é falsa quando ambas forem falsas, sendo verdadeira nas demais circunstâncias.

4. Implicação pq é falsa se p é verdadeira e q é falsa, sendo verdadeira em todas as outras circunstâncias.

5. Equivalência pq é falsa se p é verdadeira e q é falsa, sendo verdadeira nas demais circunstâncias.

Tabelas-verdade com proposições lógicas:

Prop1	Prop2	Conjunção	Disjunção	negação	Implicação	Equivalência
p	q	pq	pq	~ p	pq	pq
V	V	V	V	F	V	V
V	F	F	V	F	F	F
F	V	F	V	V	V	F
F	F	F	F	V	V	V

Tabelas-verdade com valores numéricos:

Algumas implicações lógicas:

1. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então pq é verdadeira.

2. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então pq é verdadeira.

3. Se p é verdadeira e pq é verdadeira, então q é verdadeira.

4. Se ~p é verdadeira e pq é verdadeira, então q é verdadeira.

5. Se ~q é verdadeira e pq é verdadeira, então ~p é verdadeira.

6. Se pq é verdadeira, pr é verdadeira e qr é verdadeira, então r é verdadeira.

7. Se pq é verdadeira e qr é verdadeira, então pr é verdadeira.

8. Se são verdadeiras: (p), (pq) e (qr), então r é verdadeira.

Algumas equivalências lógicas:

1. p[q(~q)]p

2. p[q(~q)]p

3. pq(~p)q

4. ~(pq)p(~q)

5. (pq)(pq)(qp)

6. (pq)(pq)[(~p)(~q)]

7. p(qr)(pq)r

8. pq(~q)(~p)

Quatro importantes equivalências lógicas: Usando as tabelas-verdade, mostre que as proposições abaixo são equivalentes:

1. pq

2. (~q)(~p)

3. (~q)pF (Afirmação absurda)

4. (~p)qV (Afirmação verdadeira)

Observação importante sobre a negação de uma frase lógica: Ao realizar a negação de uma afirmação matemática, é muito comum ocorrer erro na troca das posições dos quantificadores, pois negar um quantificador existencial é aceitar um quantificador universal e negar um quantificador universal é assumir um quantificador existencial.

A negação da afirmação

x€R,y€R : x+y=0

não é a afirmação

y€R,x€R : x+y=0

A negação da frase lógica:

x€R,y€R : x+y = 0

pode ser escrita como

x€R,y€R : x+y ≠ 0