Matemática Essencial

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Superior >> Análise na Reta
Exercicios de Teoria dos Conjuntos
Mariângela Gallo
Thiago Batista
Carolina Gonçalves
Bruno Teixeira
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Exercícios de Teoria dos Conjuntos

Apresentamos aqui alguns exercícios resolvidos sobre a Teoria de Conjuntos. Tais exercícios são utilizados estudo de Análise na reta, embora devessem estar em algum tópico relacionado com a Teoria dos Conjuntos.

  1. Provar que se \(A\subset\emptyset\), isto é, \(A\) é um subconjunto do conjunto vazio, então \(A=\emptyset\).
    Prova: O conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto e em particular \(\emptyset\subset A\). Por hipótese, \(A\subset \emptyset\), pois \(A\) é um subconjunto do conjunto vazio. Como \(A\subset\emptyset\) e \(\emptyset\subset A\), por definição de igualdade de conjuntos, segue que \(A=\emptyset\).
  2. Provar que \(A\cup B=B\cup A\) (Comutatividade).
    Prova: Seja \(y\in(A\cup B)\). Então \(y\in A\) ou \(y\in B\). Pela equivalência lógica \(p \equiv q \Leftrightarrow q \equiv p\) segue que \(y\in B\) ou \(y\in A\). Logo \(y\in B\cup A\). Conclui-se que \(A\cup B=B\cup A\).
  3. Provar que \(A\cap B=B\cap A\) (Comutatividade).
    Prova: Seja \(x\in (A\cap B)\). Então \(x\in A\) e \(x\in B\). Pela equivalência lógica \(p \equiv q \Leftrightarrow q \equiv p\) segue que \(x\in B\) e \(x\in A\). Logo \(x\in B\cap A\), assim \(A\cap B=B\cap A\).
  4. Provar que \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(A\cup B\).
    Para a prova, deve-se demonstrar as inclusões: (a) \(A\subset (A\cup B)\) e (b) \(B\subset (A\cup B)\).
    Prova de (a): Seja \(x\in A\). Pela implicação lógica \(p\to p\to q\) segue que \(x\in A\) ou \(x\in B\). Logo \(x\in A\cup B\) e segue que \(A\subset(A\cup B)\).
    Prova de (b): Se \(x\in B\), então pela implicação lógica \(q \to p \to q\) segue que \(x\in B\) ou \(x\in A\). Logo \(x\in B\cup A\). Como a reunião de conjuntos é comutativa, segue que \(x\in A\cup B\), logo \(B\subset (A\cup B)\). Portanto \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(A\cup B\).
  5. Provar que \(A=A\cup A\) (Idempotência).
    Deve-se mostrar que: (a) \(A\subset (A\cup A)\) e (b) \((A\cup A)\subset A\).
    Prova de (a): Como \(A\subset (A\cup B)\), tomando \(B=A\) segue que \(A\subset (A\cup A)\).
    Prova de (b): Seja \(x\in A\cup A\). Segue que \(x\in A\) ou \(x\in A\). Pela implicação lógica \(p\to p\to p\) segue que \(x\in A\). Logo, \((A\cup A)\subset A\). Como \(A\subset (A\cup A)\) e \((A\cup A)\subset A\), e pela definição de igualdade de conjuntos, conclui-se que \(A=A\cup A\).
  6. Provar que \(\mathcal{U} \cup A=\mathcal{U}\).
    Deve-se mostrar que: (a) \(\mathcal{U}\subset(\mathcal{U}\cup A)\) e que (b) \((\mathcal{U}\cup A)\subset\mathcal{U}\).
    Prova de (a): Como \(A\subset (A\cup B)\). Tomando \(A=\mathcal{U}\) e \(B=A\) segue que \(\mathcal{U}\subset (\mathcal{U}\cup A)\).
    Prova de (b): Se \(y\in\mathcal{U}\cup A\), então \(y\in\mathcal{U}\) ou \(y\in A\), logo \(y\in\mathcal{U}\), pois todo conjunto é um subconjunto do conjunto universo. Então, \((\mathcal{U}\cup A)\subset U\), logo \(\mathcal{U}\cup A=\mathcal{U}\).
  7. Provar que \(A\cup\emptyset=A\) (Identidade com respeito à reunião).
    Mostraremos que: (a) \((A\cup\emptyset)\subset A\) e (b) \(A\subset(A\cup\emptyset)\).
    Prova de (a): Se \(x\in A\cup\emptyset\), segue que \(x\in A\) ou \(x\in\emptyset\). Pela definição de conjunto vazio, segue que \(x\in A\), logo \((A\cup\emptyset)\subset A\).
    Prova de (b): Como \(A\subset(A\cup B)\). Tomando \(B=\emptyset\) segue que \(A\subset(A\cup\emptyset)\). Como \((A\cup\emptyset)\subset A\) e \(A\subset(A\cup\emptyset)\), pela definição de igualdade de conjuntos, conclui-se então que \(A\cup \emptyset=A\).
  8. Provar que se \(A\cup B=\emptyset\) então \(A=\emptyset\) e \(B=\emptyset\).
    Prova: Sabe-se que \(A\subset(A\cup B)\). Por hipótese, \(A\cup B=\emptyset\), logo \(A\subset\emptyset\). Como o conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto, segue que \(\emptyset\subset A\). Pela definição de igualdade de conjuntos \(A=\emptyset\). Analogamente mostra-se que \(B=\emptyset\). Portanto, se \(A\cup B=\emptyset\) então \(A=\emptyset\) e \(B=\emptyset\).
  9. Provar que (\(A\cap B\)) é um subconjunto de \(A\) e também de \(B\).
    Deve-se provar que \((A\cap B)\subset A\) e (b) \((A\cap B)\subset B\).
    Prova de (a): Se \(x\in(A\cap B)\), então \(x\in A\) e \(x\in B\). Em particular, \(x\in A\). Logo \((A\cap B)\subset A\).
    Prova de (b): Se \(y\in(A\cap B)\), então, \(y\in A\) e \(y\in B\). Em particular, \(y\in B\). Logo \((A\cap B)\subset B\). Conclui-se que (\(A\cap B\)) é um subconjunto de \(A\) e de \(B\).
  10. Provar que \(A\cap A=A\) (Idempotência).
    Deve-se mostrar que (a) \((A\cap A)\subset A\) e (b) \(A\subset (A\cap A)\).
    Prova de (a): Como \((A\cap B)\subset A\). Tomando \(B=A\) segue que \((A\cap A)\subset A\).
    Prova de (b): Se \(x\in A\), então \(x\in A\) e \(x\in A\), logo \(x\in(A\cap A)\), assim \(A\subset (A\cap A)\). Conclui-se então que \(A\cap A=A\).
  11. Provar que \(\mathcal{U}\cap A=A\) (Identidade com respeito à interseção).
    Deve-se demonstrar que: (a) \((\mathcal{U}\cap A)\subset A\) e (b) \(A\subset(\mathcal{U}\cap A)\).
    Prova de (a): Como \((A\cap B)\subset B\), tomando \(A=\mathcal{U}\) e \(B=A\) segue que \((\mathcal{U}\cap A)\subset A\).
    Prova de (b): Se \(x\in A\), então \(x\in\mathcal{U}\), pois o conjunto \(\mathcal{U}\) é o conjunto universo. Assim \(x\in\mathcal{U}\) e \(x\in A\). Logo \(x\in(\mathcal{U}\cap A)\). Portanto \(A\subset(\mathcal{U}\cap A)\) e conclui-se então que \(\mathcal{U}\cap A=A\).
  12. Provar que \(A\cap \emptyset=\emptyset\).
    Devemos mostrar que: (a) \((A\cap\emptyset)\subset\emptyset\) e que (b) \(\emptyset\subset(A\cap\emptyset)\).
    Prova de (a): Como \((A\cap B)\subset B\), então se \(B=\emptyset\) segue que \((A\cap\emptyset)\subset\emptyset\).
    Prova de (b): Como o conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto, segue que \(\emptyset\subset(A\cap\emptyset)\). Conclui-se que \(A\cap \emptyset=\emptyset\).
  13. Provar que \((A-B)\subset A\).
    Prova: Se \(y\in(A-B)\), então \(y\in A\) e \(y\notin B\), logo \(y\in A\). Conclui-se então que \((A-B)\subset A\).
  14. Provar que \((A-B)\cap B=\emptyset\).
    Prova: Por redução ao absurdo. Nega-se a tese, aceita-se a hipótese para obter uma contradição. Se \((A-B)\cap B\neq\emptyset\), então existe \(p\in(A-B)\cap B\). Assim, \(p\in(A-B)\) e \(p\in B\), isto é, (\(p\in A\) e \(p\notin B\)) e \(p\in B\). Pela equivalência lógica \((p \equiv q)\to r\Leftrightarrow p\to(q \equiv r)\) segue que \(p\in A\) e (\(p\notin B\) e \(p\in B\)), o que é uma contradição. Conclui-se então que \((A-B)\cap B=\emptyset\).
  15. Provar a lei de De Morgan \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\).
    Mostraremos que: (a) \((A\cup B)^c\subset A^c\cap B^c\) e (b) \(A^c\cap B^c\subset(A\cup B)^c\).
    Prova de (a): Se \(x\in(A\cup B)^c\) então \(x\notin(A\cup B)\). Assim, \(x\notin A\) e \(x\notin B\), isto é, \(x\in A^c\) e \(x\in B^c\). Disto segue que \(x\in A^c\cap B^c\). Logo \((A\cup B)^c\subset A^c\cap B^c\).
    Prova de (b): Se \(y\in A^c\cap B^c\) então \(y\in A^c\) e \(y\in B^c\). Assim, \(y\notin A\) e \(y\notin B\). Disto segue que \(y\notin(A\cup B)\), ou seja, \(y\in (A\cup B)^c\). Logo \(A^c\cap B^c\subset(A\cup B)^c\) Conclui-se que \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\).
  16. Provar a lei de De Morgan \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).
    Deve-se mostrar que (a) \((A\cap B)^c\subset A^c\cup B^c\) e que (b) \(A^c\cup B^c\subset (A\cap B)^c\).
    Prova de (a): Se \(x\in (A\cap B)^c\) então \(x\notin(A\cap B)\). Logo, \(x\notin A\) ou \(x\notin B\), isto é, \(x\in A^c\) ou \(x\in B^c\). Disto segue que \(x\in A^c\cup B^c\). Assim, \((A\cap B)^c\subset A^c\cup B^c\).
    Prova de (b): Se \(y\in A^c\cup B^c\) então \(y\in A^c\) ou \(y\in B^c\). Assim, \(y\notin A\) ou \(y\notin B\). Segue que \(y\notin(A\cap B)\), ou seja, \(y\in (A\cap B)^c\). Logo \(A^c\cup B^c\subset (A\cap B)^c\). Conclui-se então que \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).
  17. Provar a proposição de De Morgan \((A\cap B\cap C)^c=A^c\cup B^c\cup C^c\).
    Mostramos que: \((A\cap B\cap C)^c\subset A^c\cup B^c\cup C^c\) e \(A^c\cup B^c\cup C^c\subset (A\cap B\cap C)^c\).
    Prova de (a): Se \(x\in(A\cap B\cap C)^c\), então \(x\notin(A\cap B\cap C)\). Desse modo, \(x\notin A\) ou \(x\notin B\) ou \(x\notin C\), isto é, \(x\in A^c\) ou \(x\in B^c\) ou \(x\in C^c\). Assim \(x\in A^c\cup B^c\cup C^c\). Logo \((A\cap B\cap C)^c\subset A^c\cup B^c\cup C^c\).
    Prova de (b): Se \(y\in A^c\cup B^c\cup C^c\), então \(y\in A^c\) ou \(y\in B^c\) ou \(y\in C^c\). Assim, \(y\notin A\) ou \(y\notin B\) ou \(y\notin C\). Segue que \(y\notin(A\cap B\cap C)\), ou seja, \(y\in (A\cap B\cap C)^c\). Logo \(A^c\cup B^c\cup C^c\subset (A\cap B\cap C)^c\). Conclui-se então que \((A\cap B\cap C)^c=A^c\cup B^c\cup C^c\).
    Prova alternativa: Como \((A\cap B)^c\subset A^c\cup B^c\), então tomando \(X=A\cap B\), segue que
    \[\begin{align} (A\cap B\cap C)^c &= (X\cap C)^c=X^c\cup C^c \\ &= (A\cap B)^c\cup C^c \\ &= (A^c\cup B^c)\cup C^c \\ &= A^c\cup B^c\cup C^c \end{align}\]
  18. Provar a proposição de De Morgan \((A\cup B\cup C)^c=A^c\cap B^c\cap C^c\).
    Deve-se mostrar que: (a) \((A\cup B\cup C)^c\subset A^c\cap B^c\cap C^c\) e (b) \(A^c\cap B^c\cap C^c\subset (A\cup B\cup C)^c\).
    Prova de (a): Se \(x\in(A\cup B\cup C)^c\), então \(x\notin(A\cup B\cup C)\). Desse modo, \(x\notin A\) e \(x\notin B\) e \(x\notin C\), isto é, \(x\in A^c\) e \(x\in B^c\) e \(x\in C^c\). Segue que \(x\in A^c\cap B^c\cap C^c\). Logo \((A\cup B\cup C)^c\subset A^c\cap B^c\cap C^c\).
    Prova de (b): Se \(y\in A^c\cap B^c\cap C^c\), então \(y\in A^c\) e \(y\in B^c\) e \(y\in C^c\), isto é, \(y\notin A\) e \(y\notin B\) e \(y\notin C\). Assim \(y\notin(A\cup B\cup C)\), ou seja, \(y\in (A\cup B\cup C)^c\). Logo \(A^c\cap B^c\cap C^c\subset (A\cup B\cup C)^c\). Conclui-se que \((A\cup B\cup C)^c=A^c\cap B^c\cap C^c\).
    Prova alternativa: Como \(A^c\cup B^c\subset(A\cap B)^c\), tomando \(Y=A\cup B\), segue que
    \[\begin{align} (A\cup B\cup C)^c &= (Y\cup C)^c=Y^c\cap C^c \\ &= (A\cup B)^c\cap C^c \\ &= (A^c\cap B^c)\cap C^c \\ &= A^c\cap B^c\cap C^c \end{align}\]
  19. Provar que \(A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\) (Associatividade).
    Prova: Se \(x\in A\cup(B\cup C)\), então \(x\in A\) ou \(x\in(B\cup C)\). Desse modo, \(x\in A\) ou (\(x\in B\) ou \(x\in C\)). Pela equivalência lógica \(p \equiv (q\to r)\Leftrightarrow (p \equiv q)\to r\) segue que (\(x\in A\) ou \(x\in B\)) ou \(x\in C\). Logo, \(x\in(A\cup B)\) ou \(x\in C\), isto é, \(x\in (A\cup B)\cup C\). Conclui-se que \(A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\).
  20. Provar que \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\) (Associatividade).
    Prova: Se \(x\in A\cap(B\cap C)\), então \(x\in A\) e \(x\in(B\cap C)\). Desse modo, \(x\in A\) e (\(x\in B\) e \(x\in C\)). Pela equivalência lógica \(p \equiv (q \mathbf{e_q}uiv r)\Leftrightarrow (p \equiv q) \equiv r\) segue que (\(x\in A\) e \(x\in B\)) e \(x\in C\). Logo, \(x\in(A\cap B)\) e \(x\in C\), isto é, \(x\in (A\cap B)\cap C\). Conclui-se então que \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\).
  21. Provar que \(A\cup(A\cap B)=A\) (Lei de Absorção).
    Mostramos que: (a) \(A\cup(A\cap B)\subset A\) e (b) \(A\subset A\cup(A\cap B)\).
    Prova: Se \(x\in A\cup(A\cap B)\), então \(x\in A\) ou \(x\in A\cap B\). Mas \(A\cap B\subset A\), assim se \(x\in A\cap B\) então \(x\in A\). Desse modo, \(x\in A\) ou \(x\in A\). Logo, \(x\in A\). Portanto, \(A\cup(A\cap B)\subset A\).
    Prova de (b): Segue direto de \(A\subset(A\cup B)\) com \(B=(A\cap B)\). Conclui-se então que \(A\cup(A\cap B)=A\).
  22. Provar que \(A\cap(A\cup B)=A\).
    Deve-se mostrar que: (a) \(A\cap(A\cup B)\subset A\) e (b) \(A\subset A\cap(A\cup B)\).
    Prova: A demonstração segue de \((A\cap B)\subset A\), com com \(B=(A\cup B)\).
    Prova de (b): Seja \(x\in A\). Como \(A\subset A\cup B\), segue que \(x\in A\cup B\). Assim \(x\in A\) e \(x\in A\cup B\). Logo, \(x\in A\cap(A\cup B)\). Portanto, \(A\subset A\cap (A\cup B)\). Conclui-se então que \(A\cap (A\cup B)=A\).
  23. Provar que \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) (Distributividade).
    Prova: Se \(x\in A\cup (B\cap C)\), então \(x\in A\) ou \(x\in(B\cap C)\). Desse modo, \(x\in A\) ou (\(x\in B\) e \(x\in C\)). Pela equivalência lógica \(p \equiv (q \equiv r)\Leftrightarrow (p \equiv q)\to(p \equiv r)\) segue que (\(x\in A\) ou \(x\in B\)) e (\(x\in A\) ou \(x\in C\)). Logo, \(x\in(A\cup B)\) e \(x\in(A\cup C)\), isto é, \(x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\). Conclui-se então que \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\).
  24. Provar que \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) (Distributividade).
    Prova: Se \(x\in A\cap(B\cup C)\), segue que \(x\in A\) e \(x\in(B\cup C)\). Desse modo, \(x\in A\) e (\(x\in B\) ou \(x\in C\)). Pela equivalência lógica \(p \equiv (q \equiv r) \Leftrightarrow (p \equiv q) \equiv (p \equiv r)\) segue que (\(x\in A\) e \(x\in B\)) ou (\(x\in A\) e \(x\in C\)). Logo, \(x\in(A\cap B)\) ou \(x\in(A\cap C)\), isto é, \(x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\). Conclui-se então que \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
  25. Provar que \((A-B)\cap (B-A)=\emptyset\).
    Mostramos que: (a) \((A-B)\cap (B-A)\subset \emptyset\) e (b) \(\emptyset\subset (A-B)\cap (B-A)\).
    Prova: Se \(x\in (A-B)\cap(B-A)\), então \(x\in(A-B)\) e \(x\in(B-A)\), ou seja, \(x\in A\) e \(x\notin B\) e \(x\in B\) e \(x\notin A\). Assim, \(x\in A\) e \(x\notin A\) e \(x\in B\) e \(x\notin B\), mas, não existe \(x\) tal que \(x\in A\) e \(x\notin A\). Também não existe qualquer \(x\) tal que \(x\in B\) e \(x\notin B\) ao mesmo tempo, logo, \((A-B)\cap (B-A)\subset\emptyset\).
    A recíproca é imediata, pois o conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto e segue que \((A-B)\cap (B-A)=\emptyset\).
  26. Demonstrar que se \(S\subset\mathcal{U}\), então \(\mathcal{U}-S=\mathcal{U}\cap S^c\).
    Mostramos que: (a) \(\mathcal{U}-S\subset\mathcal{U}\cap S^c\) e (b) \(\mathcal{U}\cap S^c\subset(\mathcal{U}-S)\).
    Prova: Se \(x\in(\mathcal{U}-S)\), então \(x\in\mathcal{U}\) e \(x\notin S\). Como \(S\subset\mathcal{U}\), por definição, \(x\in S^c\). Mas \(S^c=S^c\cap\mathcal{U}\) e disso segue que \(x\in S^c\cap\mathcal{U}\). De fato, \(S^c\cap\mathcal{U}=\mathcal{U}\cap S^c\), assim \(x\in\mathcal{U}\cap S^c\). Portanto, \(\mathcal{U}-S\subset(\mathcal{U}\cap S^c)\).
    Prova de (b): Se \(x\in\mathcal{U}\cap S^c\), então \(x\in\mathcal{U}\) e \(x\in S^c\). Como \(S\subset\mathcal{U}\), segue que \(x\in\mathcal{U}\) e \(x\notin S\). Desse modo, por definição, \(x\in(\mathcal{U}-S)\). Logo, \(\mathcal{U}\cap S^c\subset(\mathcal{U}-S)\). Conclui-se que \(\mathcal{U}-S=\mathcal{U}\cap S^c\).
  27. Se \(A\) e \(B\) são conjuntos tal que \(A\subset B\), então \(A=(A-B)\cup(B\cap A)\).
    Prova: Se \(A\subset B\) então \(A-B=A\cap B^c\). Além disso, \(B\cap A=A\cap B\). Logo \(A=(A-B)\cup (B\cap A)\), pois
    \[\begin{align} (A-B)\cup (B\cap A) &= (A\cap B^c)\cup(A\cap B) \\ &= A\cap(B^c\cup B) \\ &= A\cap\mathcal{U} = A \end{align}\]
  28. Sejam \(A\) e \(B\) conjuntos. Demonstrar que são equivalentes as afirmações: (a) \(A\subset B\), (b) \(A=A\cap B\), (c) \(B=A\cup B\).
    1. Prova que (a) implica (b), isto é, se \(A\subset B\) então \(A=A\cap B\). Para mostrar que \(A=A\cap B\), devemos mostrar que \(A\subset A\cap B\) e que \(A\cap B\subset A\). Se \(x\in A\), por hipótese, \(A\subset B\) e disto segue que \(x\in B\). Então \(x\in A\) e \(x\in B\), logo \(x\in A\cap B\) e concluímos que a inclusão \(A\subset B\) implica que \(A\subset A\cap B\). Como \((A\cap B)\subset A\), segue que \(A\cap B\subset A\). Assim, como \(A\subset A\cap B\) e \(A\cap B\subset A\), segue que \(A=A\cap B\), logo \(A\subset B\) implica que \(A=A\cap B\).
    2. Prova que (b) implica (c), segue que \(A=A\cap B\) implica que \(B=A\cup B\). Vamos assumir a hipótese: \(A=A\cap B\). Para mostrar que \(B=A\cup B\), devemos mostrar que \(B\subset A\cup B\) e \(A\cup B\subset B\). Como mostrado antes, temos que \(B\subset A\cup B\). Se \(x\in A\cup B\), então, \(x\in A\) ou \(x\in B\). Por hipótese, \(A=A\cap B\). Disto segue que \(x\in A\cap B\) ou \(x\in B\), logo, \(x\in B\). Portanto, \(A\cup B\subset B\). Assim, como \(B\subset A\cup B\) e \(A\cup B\subset B\), segue que \(B=A\cup B\). Portanto, \(A=A\cap B\) implica que \(B=A\cup B\).
    3. Prova que (c) implica (a), segue que \(B=A\cup B\) implica que \(A\subset B\). Se \(x\in A\), então \(x\in A\) ou \(x\in B\), isto é, \(x\in A\cup B\). Como por hipótese \(A\cup B=B\), então \(x\in B\), logo \(B=A\cup B\) implica que \(A\subset B\). Como \(A\subset B\) implica que \(A=A\cap B\), \(A=A\cap B\) implica que \(B=A\cup B\) e \(B=A\cup B\) implica que \(A\subset B\), concluímos que as três afirmações são equivalentes.