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Apresentamos alguns problemas de características diferentes dos anteriores.
Exercício 1: Obter a expressão geral da transformação linear \(T:R^3\to R^2\) definida de modo que \(T(1,0,0)=(1,0)\), \(T(0,1,0)=(1,1)\) e \(T(0,0,1)=(1,-1)\). Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor \(v\in R^3\), tal que \(T(v)=(1,2)\).
Para resolver este problema devemos escrever o vetor \(v=(x,y,z)\) como combinação linear dos elementos da base canônica \(C=\{e_1,e_2,e_3\}\subset R^3\), formada pelos vetores \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\) e \(e_3= (0,0,1)\).
Assim, obtemos \(x=a\), \(y=b\) e \(z=c\) e como \(T\) é uma transformação linear, segue que:
A forma geral desta transformação linear é:
Para obter o vetor \(v=(x,y,z)\in R^3\) tal que \(T(x,y,z)=(1,2)\), tomamos a forma \(T(x,y,z)=(x+y+z,y-z)\) exigindo que \(T(x,y,z)=(1,2)\).
Basta resolver o sistema:
Como este sistema possui três variáveis e duas equações lineares, ele possui infinitas soluções. Somando membro a membro as equações acima, obtemos \(x+2z=3\), de onde segue que \(x=-2y+3\). Se \(y=1\), segue que \(x=1\) e \(z=3\) e geramos um \(v=(1,1,3)\in R^3\) com a propriedade desejada.
Também podemos resolver este problema da seguinte forma: Como \(x=-2y+3\) e \(y=z+2\), escrevemos \(x\) em função de \(z\) para obter \(x=-2z-1\), logo, \((x,y,z)=(-2z-1,z+2,z)\).
Tomando \(z=t\), podemos escrever as equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor \(v=(-2,1,1)\) e que passa pelo ponto \(P_0=(-1,2,0)\).
Ainda podemos escrever \((x,y,z)=(3-2y,y,y-2)\).
Exercício 2: Obter expressão geral da transformação linear \(T:R^3\to R^2\) tal que \(T(1,0,0)=(1,0)\), \(T(1,1,0)=(2,3)\) e \(T(1,1,1)=(4,7)\).
Para resolver este problema escrevemos o vetor \(v=(x,y,z)\) como combinação linear dos elementos da base \(B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}\) para obter
Assim, \(x=a+b+c\), \(y=b+c\) e \(z=c\) e desse modo: